Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Paris 7 PH314 – M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES Exercices, feuill

Paris 7 PH314 – M ´ ECANIQUE DES MILIEUX D ´ EFORMABLES Exercices, feuille 7 Fluides newtoniens, ´ ecoulements cisaill´ es 1 ´ Ecoulement de Couette plan Sous une grande plaque, remorqu´ ee depuis longtemps ` a vitesse constante pas trop grande, sur une petite ´ epaisseur d’eau, le proﬁl des vitesses est ` a peu pr` es permanent et lin´ eaire (“´ ecoulement cisaill´ e”). ´ Evaluez la force de traction sur une plaque de 1 m2, remorqu´ ee ` a 3,6 km h−1 sur 1 mm d’eau. 2 ´ Ecoulement de Poiseuille (analyse m´ ecanique) Les exp´ eriences eﬀectu´ ees par Hagen () et Poiseuille () sur l’´ ecoulement dans des longs (L) tuyaux cylindriques circulaires (rayon R), dans certaines conditions, les ont conduits ( !), pour ce qui est de la diﬀ´ erence des pressions ` a l’entr´ ee et ` a la sortie du tuyau, ` a la loi pe −ps = 8 η L R2 V , o` u V est la vitesse d´ ebitante, typique de l’´ ecoulement, V df = Q/πR2, d´ eﬁnie ` a partir du d´ ebit volumique Q (relativement facile ` a mesurer, ne serait-ce qu’avec une boˆ ıte de conserve et un chrono), et η la viscosit´ e. Le probl` eme est maintenant de tenter d’expliquer cette loi empirique. Selon toute apparence, l’´ ecoulement est bien r´ egulier et permanent (rien ne d´ epend du temps). Supposons de plus que l’on est en apesanteur (c’est un peu plus simple pour commencer... et ¸ ca ne change ﬁnalement rien ` a l’aﬀaire). 1. Intuitivement : Repr´ esentez l’allure que peut avoir le proﬁl transversal des vitesses en diﬀ´ erentes sections du tuyau. 2. On isole, par la seule force de la pens´ ee, un cylindre de ﬂuide, coaxial, rayon r, longueur ∆l. i) Recensez les diverses forces agissant sur cet ´ el´ ement de ﬂuide. ii) Que peut-on dire de leur somme ? iii) En d´ eduire le proﬁl radial des vitesses. 3. En d´ eduire le d´ ebit volumique de l’´ ecoulement, la vitesse d´ ebitante, et une comparaison avec la loi empirique de Hagen-Poiseuille. 4. i) Calculez la contrainte de cisaillement dans le ﬂuide ` a l’interface avec la paroi du tuyau. ii) En d´ eduire la force longitudinale exerc´ ee par le ﬂuide sur une longueur L de tuyau. Le r´ esultat est-il fortuit ? 3 Palier lubriﬁ´ e Un axe cylindrique, rayon 2 cm, tourne ` a 7 200 tr mn−1 dans un palier long de 5 cm. Le palier est lubriﬁ´ e par de l’huile, viscosit´ e 2 × 10−2 Poiseuille, qui occupe l’interstice ` a peu pr` es uniforme, 4 × 10−2 mm, entre l’axe et le palier (la charge radiale est n´ egligeable). Estimez : i) la contrainte de cisaillement dans l’huile ; ii) le moment de freinage exerc´ e par l’huile sur l’axe ; iii) la puissance dissip´ ee dans l’huile. 2 M´ ecanique des Milieux D´ eformables, PH314 Paris 7 4 ´ Ecoulement de Poiseuille (analyse dimensionnelle) On oublie tout et on recommence... A priori, le d´ ebit volumique Q d’un long tuyau rectiligne cylindrique pourrait ˆ etre surtout fonction de — son diam` etre D, — la diﬀ´ erence de pression du ﬂuide, ∆p, entre les extr´ emit´ es du tuyau, — la longueur ∆l du tuyau, — la viscosit´ e η du ﬂuide, et peu de — la rugosit´ e δ de la paroi int´ erieure (surtout si elle est faible), — la masse volumique ρ du ﬂuide (surtout si chaque particule ﬂuide va ` a vitesse constante), — &c... 1. Donnez, au moyen de la m´ ethode dimensionnelle, une forme de l’expression du d´ ebit volu- mique Q en fonction de D, ∆p, ∆l et η. 2. ´ Enum´ erez quelques formes ´ equivalentes de la mˆ eme expression. 3. Compte tenu de l’exp´ erience acquise en aspirant vos boissons favorites, quel est le comportement de Q lorsque D, ∆p, ∆l, η, varient tour-` a-tour ? Parmi l’inﬁnit´ e de formes ´ equivalentes, quelles sont celles qui sont susceptibles d’ˆ etre plus pratiques que les autres ? 4. Toujours intuitivement, qu’arrive-t-il au d´ ebit si l’on raboute deux tuyaux identiques aux extr´ emit´ es desquels il y avait la mˆ eme diﬀ´ erence de pression ? 5. En d´ eduire ﬁnalement l’expression du d´ ebit, ` a un facteur sans dimension, et ´ eventuellement constant, pr` es. 6. Les diﬃcult´ es pr´ ec´ edentes pour trouver l’expression du d´ ebit, et qui ont requis l’appel ` a l’intuition (donc un eﬀort intellectuel), ´ etaient dues ` a la pr´ esence de deux param` etres pertinents, D et ∆l, ayant la mˆ eme dimension : Q peut alors d´ ependre de n’importe quelle fonction de D/∆l. Mais on peut reconnaˆ ıtre que dans cette situation physique (´ ecoulement dans un long tuyau cylindrique) il y a deux cat´ egories de longueurs, axiales et radiales, de dimensions [∆l] et [D] respectivement, jouant des rˆ oles fort diﬀ´ erents. Proc´ edez alors ` a l’analyse dimensionnelle, soigneuse et intelligente, du d´ ebit Q en termes de [D], [∆p], [∆l] et [η]. 7. En vertu de l’invariance par similitude de l’´ equation Q = f(D, ∆p, ∆l, η), en d´ eduire enﬁn, et sans aucun appel ` a l’intuition cette fois, la forme de l’expression de Q. 8. Et si l’on d´ esire prendre en compte l’inﬂuence de la rugosit´ e ?... uploads/s3/ exercices-corrige-mdf.pdf