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Grands nombres premiers Cryptographie RSA François DE MARÇAY Département de Mathématiques d ? Orsay Université Paris-Sud France Limitations physiques Soit un nombre donné quelconque n représenté par exemple en base comme suite ?nie de chi ?res appartenant à Le Crible d ? Eratosthène est la méthode la plus simple et la plus directe pour déterminer si un tel nombre entier n donné est un nombre premier ou un nombre composé L ? algorithme procède par élimination il s ? agit de supprimer de la table complète de tous les entiers allant de jusqu ? à n tous les entiers qui sont multiples d ? un entier inférieur à n À la ?n il ne restera donc que les entiers qui ne sont multiples d ? aucun entier c ? est-à-dire il ne restera plus que les nombres premiers On commence tout simplement par rayer tous les multiples de puis tous les multiples de puis tous les multiples de puis tous les multiples de et ainsi de suite jusqu ? aux multiples du dernier entier premier k tel que k n C François DE MARÇAY Département de Mathématiques d ? Orsay Université Paris-Sud ?? ?? On peut en e ?et s ? arrêter à k ?? n car tous les entiers non premiers ont déjà été rayés précédemment Cependant ce procédé direct est limité dans la pratique à cause du très grand nombre d ? opérations qu ? il exige In a very real sense there are no large numbers Any explicit integer can be said to be ? small ? Indeed no matter how many digits or towers of exponents you may write down there are only ?nitely many natural numbers smaller than your candidate and ?nitely many that are larger Though condemned always to deal with small numbers we can at least strive to handle numbers that are larger than those that could be handled before Richard Crandall Carl Pomerance Af ?rmation de philosophie des mathématiques L ? ensemble complet de tous les nombres premiers n ? est pas connaissable comme totalité donnée de manière actuelle c ? est-à-dire de manière accessible e ?ective concrète visible vraiment présente ? La raison métaphysique simplette de cette limitation est claire l ? in ?ni actuel n ? existe pas A ?n de mieux comprendre en quoi il y a réellement limitation spéculons quelque peu Supposons par exemple que l ? on rêve d ? imprimer la liste complète de tous les nombres entiers premiers qui sont inférieurs à un certain entier nombre assez grand disons pour se satisfaire de possèder un petit trésor mathématique ? Va-t- on y parvenir Dé ?nition Pour x entier on note classiquement ? x le nombre d ? entiers premiers inférieurs à x ? x Card p ?? P premiers avec p x On conna? t la valeur exacte de ? x pour des x contenant une vingtaine de chi ?res en base C Limitations physiques Prenons par exemple x Il se trouve qu ? à