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Les conjectures de weil origines approches generalisations 1

Séminaire Bourbaki du vendredi e année ?? no Novembre LES CONJECTURES DE WEIL ORIGINES APPROCHES GÉNÉRALISATIONS par Antoine Chambert-Loir arXiv v math NT Nov Résumé ?? Je retracerai l ? histoire des conjectures de Weil sur le nombre de solutions d ? équations polynomiales dans un corps ?ni et quelques unes des approches qui ont été proposées pour les résoudre Abstract The Weil conjectures origins approaches generalizations I recount the history of the conjectures by Weil on the number of solutions of polyno- mial equations in ?nite ?elds and some of the approaches that have been proposed to solve them PROLOGUE GAUSS Dans ses Disquisitiones arithmeticae G démontrait plusieurs théorèmes qui dénombrent les solutions de certaines équations en congruences modulo un nombre premier Il prouve par exemple que le nombre de couples d ? entiers modulo tels que ?? mod est donné par N ?? ?? o? désigne le symbole de Legendre ? modulo dé ?ni par si divise si est un carré modulo l ? expression était résidu quadratique ? et ?? sinon Il utilisait ensuite cette formule pour établir la loi complémentaire ? de sa loi de réciprocité quadratique theorema aureum disant que vaut si ?? mod et ?? si ?? mod La dernière entrée de son agenda publié par K est une a ?rmation du même genre Observatio per inductionem facta gravissima theoriam residuorum biquadraticorum cum functionibus lemniscaticis elegantissime nectens Puta si est numerus primus ?? per divisibilis multitudo omnium solutionum congruentiae ?? mod inclusis ? ? C ?? ?t ?? Iul Autrement dit on considère un nombre premier congru à modulo D ? après Fermat il s ? écrit sous la forme de sorte que est un premier de l ? anneau Z des entiers de Gauss Quitte à échanger et on suppose que est ? impair et est pair quitte à remplacer par ?? on peut supposer que ?? mod alors ?? est divisible par dans Z De manière équivalente on impose que ?? est divisible par d ? o? ?? ?? mod lorsque ?? mod on a donc ?? mod tandis que lorsque ?? mod on a ?? mod Gauss a ?rme alors que le nombre de couples dans Z tels que modulo est égal à ?? ?? ?? ?? C ? est toutefois une conjecture que Gauss énonce ici ?? observatio per inductionem facta gravissima ?? et plusieurs mathématiciens après lui en proposeront des démonstra- tions H C Pourtant ainsi que le rappelle W Gauss avait démontré des résultats analogues pour les congruences cubiques ?? ?? mod G ? et biquadratiques ?? ?? mod ?? ?? mod G ? On a par exemple F F F F F F F F F F F F F F F F F F N ?? ?? ?? ?? si si ?? mod si ?? mod o? l ? on a écrit avec ?? mod ESTIMATION ET DÉNOMBREMENT H D et W généralisent ces formules à toutes les équations de la forme non seulement en congruences