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Memoire rgl UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L ? UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS -RIVIÈRES COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MA? TRISE EN PHYSIQUE PAR RAPHA? L GERVAIS LAVOIE OSCILLATEUR HARMONIQUE QUANTIQUE DANS UN ESPACE DE HILBERT BICOMPLEXE ET ALGÈBR

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC MÉMOIRE PRÉSENTÉ À L ? UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À TROIS -RIVIÈRES COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MA? TRISE EN PHYSIQUE PAR RAPHA? L GERVAIS LAVOIE OSCILLATEUR HARMONIQUE QUANTIQUE DANS UN ESPACE DE HILBERT BICOMPLEXE ET ALGÈBRE LINÉAIRE BICOMPLEXE SEPTEMBRE c Rapha? l Gervais Lavoie CRésumé Ce mémoire présente mes travaux de ma? trise portant sur la mécanique quantique bicomplexe Les nombres bicomplexes constituent l ? une des généralisations possibles des nombres complexes et ceux-ci possèdent une structure algébrique d ? anneau commutatif Initialement le projet de ma? trise était d ? utiliser les nombres bicomplexes a ?n de construire un espace analogue à l ? espace de Hilbert en mécanique quantique standard Cet espace de Hilbert bicomplexe ainsi que les opérateurs agissant sur celuici forment ce que l ? on pourrait appeler une mécanique quantique bicomplexe et l ? idée était d ? utiliser celle-ci a ?n de résoudre ?nalement les problèmes de l ? oscillateur harmonique ainsi que de l ? atome d ? hydrogène bicomplexe Cependant plusieurs di ?cultés d ? ordre mathématique se sont présentées en cours de route dont la solution a permis d ? écrire pas moins de deux articles sur l ? algèbre linéaire ainsi que sur les espaces de Hilbert bicomplexes si bien que le problème de l ? atome d ? hydrogène fut abandonné Ce mémoire par articles présente donc la solution algébrique du problème de l ? oscillateur harmonique quantique dans un espace de Hilbert bicomplexe ainsi que de nombreux résultats et outils mathématiques qu ? il a été nécessaire de développer pour résoudre le problème Rapha? l Gervais Lavoie Louis Marchildon CAbstract This thesis presents the work done during my master ? s degree on bicomplex quantum mechanics Bicomplex numbers are one of the possible generalizations of complex numbers and they possess the algebraic structure of a commutating ring The initial goal of this master ? s degree was to build a structure analogous to the Hilbert spaces in standard quantum mechanics but standing on bicomplex numbers instead of complex ones This bicomplex Hilbert space and the operators acting on it form what we can call a bicomplex quantum mechanics and we wanted to use it to solve the problems of the quantum harmonic oscillator and hydrogen atom However some mathematical di ?culties arised on the way and forced us to abandon the hydrogen atom problem The solution of these di ?culties allowed us to write two papers on bicomplex Hilbert spaces and bicomplex linear algebra This thesis by articles explores the algebraic solution to the harmonic oscillator problem in the framework of bicomplex quantum mechanics as well as many results and mathematical tools that we developed during this investigation CAvant-propos Je tiens à remercier en premier lieu mon directeur de recherche le professeur Louis Marchildon pour son soutien ses conseils plus que judicieux sa con ?ance ainsi que d ? avoir accepté de me diriger dans ce domaine Je le remercie par dessus tout pour la