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Cours vecteurs et translations

Chapitre Vecteurs et translations I Les vecteurs et les translations Les vecteurs La translation II Composée de deux translations et somme de deux vecteurs Introduction et dé ?nition Construction de la somme de deux vecteurs a Cas o? les vecteurs se suivent b Cas o? les vecteurs partent du même point c Cas général III Composée de deux symétries centrales CI Les vecteurs et les translations Les vecteurs Dé ?nition Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par ?? une direction celle donnée par la droite AB ?? un sens de A vers B ?? une longueur la longueur du segment AB Exemple n l ? image l ? arrivée B AB l ? origine le départ A Notation on note AB le vecteur allant de A vers B Exemple n u CRemarques ?? la longueur du vecteur AB s ? appelle également la norme du vecteur AB et se note AB ?? un vecteur n ? est pas ?xe Quelques vecteurs particuliers ? Soit A un point quelconque AA est appelé le vecteur nul et est noté O AA ou O ? Le vecteur BA est l ? opposé du vecteur AB et on note BA ?? AB AB A BA ou ?? AB Deux vecteurs opposés ont B ?? la même direction ?? la même longueur ?? des sens contraires CDé ?nition Deux vecteurs égaux signi ?e que les deux vecteurs ont la même direction le même sens et la même longueur même norme Remarque pour construire deux vecteurs égaux on utilise la construction du parallélogramme car les côtés opposés d ? un parallélogramme sont parallèles et ont la même longueur A ABCD est un parallélogramme B AB DC AD BC D C CPropriété Si ABCD est un parallélogramme alors AB DC Inversement si AB DC alors ABCD est un parallélogramme éventuellement aplati Exercice Dans chaque cas construire le représentant du vecteur u d ? origine A représentant vecteur égal Cas A u AB u B CCas AB u u A u B Propriété Soient A et B deux points distincts ? Si M est le milieu de AB alors AM MB ? Inversement si AM MB alors M est le milieu de AB A M B C La translation La translation est une transformation qui consiste à faire glisser un point suivant un vecteur donné Fig La ?gure est l ? image de la ?gure par la translation de vecteur u Fig u CUn autre exemple à ne pas noter Le glissement a été e ?ectué dans la direction de la droite AB dans le sens A vers B que l ? on indique par la èche d ? une longueur égale à AB On dit que le dessin en position est l ? image du dessin en position B par la translation qui transforme A en B ou autrement dit par la translation de vecteur AB A Position ? Position CDé ?nition Soit M un point et AB un vecteur On dit que M ? est