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Devoir 17 1 Exercice Corrigé du devoir La matrice S est symétrique réelle donc diagonalisable dans Mn R Soient ? ?n ses valeurs propres non nécessairement distinctes Comme S est symétrique réelle on peut écrire D tP S P avec P ?? On R et D diag ? ?n On a

Exercice Corrigé du devoir La matrice S est symétrique réelle donc diagonalisable dans Mn R Soient ? ?n ses valeurs propres non nécessairement distinctes Comme S est symétrique réelle on peut écrire D tP S P avec P ?? On R et D diag ? ?n On a donc S P D tP n On a ainsi pour tout X ?? Mn R tXSX t P X D P X ?i yi o? Y P X i Comme P est inversible l ? application X ? P X est un automorphisme de Mn R et par conséquent X ?? Mn R ? ?? Y ?? Mn R Si toutes les valeurs propres de S sont strictement positives si X ?? Mn R on a au moins un des yi non nuls et donc tXSX Si pour tout X ?? Mn R on a tXSX Soit ? une valeur propre et X un vecteur propre associé Comme SX ? X on en déduit que ? tXX Comme tXX X car X on a ? S ?? Sn R si et seulement si toutes ses valeurs propres sont strictement positives a La matrice tM M est une matrice symétrique réelle De plus pour X ?? Mn R tXtM M X t M X M X M X Comme M est inversible et que X est non nul on a M X non nul Donc M X Ainsi tXtM M X Donc tM M est symétrique dé ?nie positive b La matrice tM M est donc diagonalisable dans Mn R et toutes ses valeurs propres sont strictement positives Notons ses valeurs propres ? ?n Il existe donc P ?? On R telle que tP tM M P D soit tM M P D tP avec D diag ? ?n Posons alors ? diag ? ?n et S P ? tP On a S P ? tP P ? tP P ? tP P D tP tM M De plus S est symétrique réelle semblable à ? donc ses valeurs propres sont stictement positives Donc S ?? Sn R Il existe S ?? Sn R telle que tM M S C n c On a det S det ? ?i Donc i S est inversible Posons R M S ?? Il vient tRR t S ?? tM M S ?? S ?? S S ?? In Donc R est orthogonale d On a ?nalement obtenu M RS avec R ?? On R et S ?? Sn R Si M ?? GLn R il existe R ?? On R et S ?? Sn R telle que M RS a La matrice ? est symétrique réelle donc diagonalisable dans Mn R Sa trace est la somme de ses valeurs propres n Tr ? ?i i b La matrice ? est symétrique réelle donc il existe donc P ?? On R telle que tP ? P D avec D matrice diagonale Il vient alors Q ? Q P D tP puis par propriété de la trace Tr