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Martine bu hler et anne michel pajus sur diffe rents types de de monstrations

Sur di ?érents types de démonstrations rencontrées spéci ?quement en arithmétique Martine Bühler et Anne Michel-Pajus De Qual ieu ay fach las ors venes pilhar Lo rest laysar si non fassa par vos Un des aspects intéressants de l ? arithmétique est qu ? elle porte sur des objets les entiers facilement accessibles par l ? intuition Sans avoir besoin d ? un grand arsenal théorique on peut y faire de véritables démonstrations mathématiques s ? appuyant sur des raisonnements d ? une certaine ?nesse et obtenir des résultats non triviaux Ceci donne à l ? arithmétique un caractère formateur spéci ?que dans l ? apprentissage de la démonstration Nous avons limité notre analyse à des textes qui proposent explicitement une démonstration ce qui exclut plusieurs siècles d ? arithmétique que nous nous contenterons de survoler en limitant notre étude à des textes écrits entre le ème et le ème siècle Nous avons par ailleurs choisi comme point de départ le petit théorème de Fermat ? parce qu ? il ?gure dans les nouveaux programmes de Terminale S spécialité et les textes présentés ne dépassent généralement pas ce niveau La première partie repère brièvement les méthodes de démonstration choisies dans quelques documents pédagogiques récents Dans un second temps nous présentons une mise en perspective plus large de certaines questions que nous serons amenées à évoquer et nous détaillons nos outils d ? analyse les quatre types d ? occurrence du Théorème Fondamental de l ? Arithmétique d ? une part une classi ?cation des types de raisonnement d ? autre part La troisième partie propose l ? analyse selon notre grille de trois extraits de démonstrations du petit théorème de Fermat ? La quatrième partie regroupe des textes autour de la méthode de descente in ?nie ? de Fermat et de ses variantes La cinquième partie reprend l ? étude des di ?érentes formes du théorème fondamental mais sous un point de vue historique en pointant leur introduction et les démonstrations d ? implications entre quatre énoncés de ce théorème Ainsi le bagage théorique de base peut se limiter à une seule propriété mais celle-ci appara? t sous des formes di ?érentes selon les points de vue Certaines façons de raisonner se retrouvent tout au long de l ? histoire sous des formes plus ou moins formalisées Nous proposons dans cet article une classi ?cation de cette multiplicité d ? approches que nous espérons éclairante pour les enseignants De ce que j ? ai fait venez piller les eurs Laissez le reste s ? il n ? est fait pour vous Concours la première personne qui nous donnera la référence exacte de cette citation extraite d ? un ouvrage de mathématiques gagne le prochain numéro de Mnémosyne ? CI Les choix des programmes et des manuels de Terminale S spécialité mathématiques en Le programme comporte entre autres résultats l ? existence et l ? unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers dont l ? unicité pourra être admise