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Departement de mathematiques et de statistique faculte des arts et des sciences universite de montreal

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE STATISTIQUE FACULTÉ DES ARTS ET DES SCIENCES ?? UNIVERSITÉ DE MONTRÉAL SIGLE DU COURS TITRE DU COURS NOM DES PROFESSEURS DATE DE L ? EXAMEN MAT Algèbre Yvan Saint-Aubin Colin Jau ?ret Le décembre de h à h ?? Final DIRECTIVES PÉDAGOGIQUES ? Pas documentation pas calculatrice ? L ? examen est sur il compte pour du cours ? Vous répondez à même ce questionnaire Utilisez le recto et le verso au besoin ? Toutes les réponses doivent être justi ?ées rigoureusement NOM et PRÉNOM NUMÉRO D ? IDENTIFICATION Page de C Soit G un groupe ?ni abélien Considérer le morphisme G ?G g ? g a Montrer que est un morphisme de groupe b Un carré dans G est un élément g ?? G qui s ? écrit comme g h pour un h ?? G Montrer que le nombre de carrés dans G est égal à l ? index G ker Page de C Un groupe G est dit métabélien s ? il contient un sous-groupe normal A G tel que A et G A sont tous les deux abéliens Soit G un groupe métabélien et K G un sous-groupe normal Cette question vise à démontrer que le quotient G K est aussi métabélien Soit A G un sous-groupe comme dans la dé ?nition c ? est-à-dire tel que A et G A sont tous les deux abéliens a Montrer que le produit AK des sous-groupes A G et K G est un sous-groupe normal de G b Montrer que AK K A A ?? K et conclure que AK K G K est abélien c Montrer que G K AK K G A AK K et conclure que G K AK K est abélien d Conclure que G K est métabélien Page de C Soit G un groupe d ? ordre qui agit sur lui-même par conjugaison On considère son équation de classes G O orbites O Dites pourquoi chacune des équations de classes suivantes est impossible a b c d considérer la cardinalité du centre e considérer la cardinalité du quotient G Z G Page de C Soit En n et soit E k n l ? ensemble des sous- ensembles de En de exactement k éléments Par exemple E On dé ?nit une action de Sn sur E k n en posant pour une permutation ? ?? Sn et un sousensemble A a ak ?? E k n que ? A ? A ou plus explicitement que ? a ak ? a ? ak a Véri ?er qu ? il s ? agit d ? une Sn-action sur E k n b Quelle est l ? orbite de k Justi ?er c Quel est le stabilisateur de k Justi ?er d Conclure que E k n n k n ??k Page de C Montrer que pour n le groupe diédral Dn r s rn s srs r ?? est isomorphe à un produit semidirect de ses sous-groupes Dn r s