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Chapitre 10 cinematique du milieu continu

Chapitre Cours MMC Chapitre Cinématique du milieu continu A la di ?érence de la mécanique des solides indéformables la mécanique des milieux continus permet de prendre en compte les déformations d ? un corps et les variations de température qui accompagnent ces déformations Dans un solide indéformable la distance entre deux points quelconques ne peut varier avec le temps alors que dans un milieu déformable cette distance peut évoluer Trajectoire et dérivées temporelles Considérons un milieu continu occupant un volume V à l ? instant initial t par exemple une balle en caoutchouc avant son écrasement dans la paume d ? une main voir ?gure Cette balle peut être vue comme l ? assemblage d ? une in ?nité de petits éléments de matière appelés ??points matériels ? Chaque point matériel va se déplacer et avoir sa propre trajectoire Cette trajectoire est dé ?nie par l ? évolution de la position ? de ce point matériel M en fonction du temps ? L ? équation ci-dessus donne formellement l ? ensemble des trajectoires de tous les points matériels A ?n de distinguer deux points matériels il faut donner un nom unique à chaque point tout comme la sécurité sociale attribue un numéro unique à chaque individu Généralement on donne comme nom à chaque point matériel ses coordonnées initiales notées ? Ces coordonnées dites matérielles sont constantes dans le temps c ? est donc une information intrinsèque de la particule Par contre les coordonnées spatiales de la particule évoluent dans le temps ? ? Sur le plan mathématique la transformation f est une bijection à chaque point matériel ? ne correspond qu ? un et un seul point spatial image à tout instant t De même deux points matériels di ?érents ne peuvent aboutir à la même position spatiale au même instant Ainsi on peut inverser la dernière relation et écrire formellement ? ? Étant donnée la bijection qui existe entre les coordonnées spatiales et matérielles on peut choisir comme variable indépendantes pour décrire le mouvement soit le couple xi t dit variables d ? Euler soit le couple Xi t dit variables de Lagrange La connaissance de la transformation f ou de son inverse dé ?nit alors complètement le mouvement CChapitre Cours MMC Exemple Transformation uniforme A titre d ? exemple considérons un domaine D qui se déforme selon un parallélogramme Les con ?gurations de référence et à l ? instant t sont présentées La transformation ? ? s ? écrit x t X tX x t t X On véri ?e que pour t on a bien x X et x X Déplacement vitesse accélération Déplacement de vitesse et d ? accélération sont dé ?nies par ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? La dérivée temporelle intervenant dans les deux dernières équations s ? e ?ectue pour une particule ? donnée C ? est une dérivée en temps dite matérielle on parle aussi de dérivée particulaire ou lagrangienne Si on assimile