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Cours automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales 29

c Christophe Bertault - MPSI Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales Dans ce chapitre on travaille seulement avec le corps de base R et E est un espace euclidien orienté Les lettres n p q désignent des entiers naturels non nuls Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales en dimension quelconque Automorphismes orthogonaux Dé ?nition Automorphisme orthogonal isométrie vectorielle Soit f E ?? ? E une application Les assertions suivantes sont équivalentes i f préserve les produits scalaires ??x y ?? E f x f y x y ii f est linéaire et préserve les normes ??x y ?? E f x x De plus si l ? une de ces deux assertions est vraie f est un automorphisme de E On dit alors que f est un automorphisme orthogonal de E ou une isométrie vectorielle de E Explication ? L ? équivalence des assertions i et ii est conceptuellement puissante le seul fait qu ? une application non nécessairement linéaire a priori préserve les produits scalaires la rend automatiquement linéaire ? Une isométrie vectorielle comme son nom l ? indique est une transformation géométrique qui préserve iso ? même identique les normes métrie ? mesure Démonstration Nous noterons ci-dessous l ? identité de polarisation x y x y ?? x ?? y i ?? ii D ? abord f préserve les normes car pour tout x ?? E f x f x f x x x x Montrons que f est linéaire Pour tous x y ?? E et ? ?? R f ?x y ?? ?f x ?? f y f ?x y ? f x f y ?? ? f ?x y f x ?? f ?x y f y ? f x f y ?x y ? x y ?? ? ?x y x ?? ?x y y ? x y ?x y ?? ?x ?? y E donc f ?x y ?f x f y ii ?? i Pour tous x y ?? E f x f y f x f y ?? f x ?? f y liné arité f x y ?? f x ?? f y ii x y ?? x ?? y x y Pour ?nir montrons que sous réserve que l ? une des assertions i ou ii est vraie f est un automorphisme de E Or f est injective car pour tout x ?? Ker f x f x E donc x E Comme f est par ailleurs un endomorphisme de E et comme E est de dimension ?nie f est bien un automorphisme Exemple Toute symétrie orthogonale de E ?? en particulier tout ré exion de E ?? est un automorphisme orthogonal de E En e ?et Soit s une symétrie orthogonale de E Posons H Ker s ?? IdE Alors s est la symétrie par rapport à H parallèlement à H ? Soient x x ?? E décomposés sous la forme x h h ?? et x h h ?? o? h h ?? H et h ?? h ??