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Cours ps fgi 3 Introduction aux Processus Stochastiques CPlan du cours Introduction premiers exemples de processus stochastiques Marche aléatoire Ruine du joueur Arbre de Galton-Watson Mouvement brownien Une ?le d ? attente Généralités sur les processus s

Introduction aux Processus Stochastiques CPlan du cours Introduction premiers exemples de processus stochastiques Marche aléatoire Ruine du joueur Arbre de Galton-Watson Mouvement brownien Une ?le d ? attente Généralités sur les processus stochastiques Rappels de probabilités Espace de probabilité variables aléatoires loi Exemples de variables aléatoires discrètes et continues Espérance Caractérisation d ? une loi sur R Probabilités conditionnelles Processus stochastiques Dé ?nitions Filtrations temps d ? arrêt Exemple variables aléatoires indépendantes Quelques quantités importantes Exercices Cha? nes de Markov Dé ?nition exemples Noyau de transition Graphe de transition Distribution Lois invariantes Cha? nes de Markov et temps d ? arrêt Classi ?cation des états Communication Récurrence-transience Espérance du temps de retour Périodicité C Calcul pratique de la probabilité et de l ? espérance du temps d ? absorption Comportement en temps long Complément Cha? nes de Markov non homogènes Processus Gaussiens Loi normale Loi standard Loi normale cas général Le Théorème Central Limite Vecteurs gaussiens Processus gaussiens Indépendance des accroissements Stationnarité des accroissements Mouvement Brownien Quelques exercices autour du mouvement brownien Processus de Poisson La loi de Poisson La loi exponentielle Processus de comptage Processus de Poisson Quelques propriétés du processus de Poisson Processus de Poisson marqué Processus de Poisson composé Processus Markovien de saut Description cha? ne de Markov induite Description générateur Lien entre les deux descriptions Lois invariantes Exemples de modèles de ?les d ? attente M M M M M M s M M ? M M k M M s CChapitre Introduction premiers exemples de processus stochastiques Marche aléatoire Fixons une dimension d ?? N ? par exemple d ?? pour pouvoir faire des dessins On considère une suite de variables aléatoires indépendantes Xn n ??N ? toutes de même loi pouvant prendre uniformément c ? est-à-dire avec la même probabilité d les d valeurs suivantes ?? ?? ?? On se déplace en fait sur un réseau Zd On part de l ? origine S et on pose ensuite Sn Sn Xn Sn représente la position à l ? instant n tandis que le mouvement entre deux instants n et n dépend de la valeur de Xn dans laquelle des d directions possibles puis dans lequel des deux sens possibles Une question naturelle qu ? on peut se poser est la possibilité de retour à l ? origine se produit-il presque sûrement si oui quel est la loi du temps de retour quelle est sa moyenne Les outils présentés dans ce cours permettent d ? aborder ces questions et d ? y répondre si on fait quelques calculs supplémentaires Il se trouve que le retour presque sûr n ? est vrai que pour d ou d et que dans ce cas le temps de retour est in ?ni en moyenne La marche aléatoire présentée ci-dessus est souvent quali ?ée de simple des lois de mouvements plus générales peuvent également servir à dé ?nir des marches aléatoires C Ruine du joueur On considère la situation d ? un joueur contre la banque il dispose d ?