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Cours sgxal Signaux AléatoiresDé ?nition Descripteurs statistiques Propriétés stationnarité ergodicité Estimation Exemples Master MEGA Jérôme Antoni LVA INSA-Lyon CDé ?nition ? Un signal aléatoire ou processus stochastique est un signal qui ne se répète p

Signaux AléatoiresDé ?nition Descripteurs statistiques Propriétés stationnarité ergodicité Estimation Exemples Master MEGA Jérôme Antoni LVA INSA-Lyon CDé ?nition ? Un signal aléatoire ou processus stochastique est un signal qui ne se répète pas à l ? identique lorsque l ? on réitère l ? expérience qui le produit ? On le note X t ? o? ? est une épreuve variable aléatoire qui traduit un tirage aléatoire ? x t ?i est une réalisation de X t ? pour un tirage particulier ?i Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CExemples Bruit blanc séquence de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées Sinuso? de avec phase aléatoire X t Asin ? f t Sinuso? de avec amplitude aléatoire X t Asin ? f t Bruit de grenaille ? X t Ai ? t ?? i i Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CAutres exemples Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CDescripteurs statistiques er ordre ? Espérance mathématique Moyenne d ? ensemble mX t E X t ? indicateur de position moyenne du signal à l ? instant t Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CDescripteurs statistiques ème ordre ? Puissance instantanée Moyenne quadratique PX t E X t ? mesure la puissance moyenne du signal en un instant t Justi ?cation du terme ? PX t ? t ? ? t t ? t t E X t ? dt Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CDescripteurs statistiques ème ordre ? Variance VX t E X t ? ?? mX t mesure la PI des uctuations aléatoires autour de la moyenne indicateur de dispersion ? Ecart-type ? X t VX t comme la variance mais exprimé dans les mêmes unités que le signal Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon C ? Les descripteurs précédents caractérisent le comportement du signal position moyenne dispersion en un instant t ? Ils ne permettent pas d ? analyser les relations dépendance qui existent entre les échantillons ? Il faut un indicateur qui mesure avec quelle force ? la valeur d ? un échantillon à l ? instant t dépend de la valeur à l ? instant t Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CLa fonction d ? autocorrélation ? Dé ?nition RX t E X t X t elle mesure la corrélation ou le produit scalaire ou la projection au sens stochastique entre X t et X t Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA- Lyon CInterprétation ? Un signal très corrélé à des uctuations lentes apparence lisse ? ? Un signal peu corrélé avec lui-même a des uctuations très rapides apparence chaotique ? Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA- Lyon CExemples Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CLa fonction d ? autocovariance ? Cas particulier des signaux non centrés on s ? intéresse seulement à la corrélation entre les uctuations autour de la moyenne ce qui dé ?nit la fonction d ? autocovariance CX t E X t ?? mX t X t ?? mX t RX t ?? mX t mX t Master MEGAJérôme Antoni LVA INSA-Lyon CFonctions d ? intercorrélation et d ? intercovariance