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Ex sur les espaces euclidiens 1 version 14 2 2022

Exercices sur les espaces euclidiens On pose E ? Mm n ?? ? ?? o? m et n sont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à ?? ?? ?? ?? Soit A ? ai j et B ? bi j deux éléments quelconques de E ?? ?? ? Véri ?er que tr t AB ? ai jbi j i m j n Démontrer que l ? application ?? E ? E ? est un produit scalaire ??A B ?? ?? tr ?? t AB ?? On notera ?? ??A B ?? ? ??A B ?? Donner une base orthonormée de E pour ce produit scalaire et préciser la norme associée à ce produit scalaire ?? ?? On considère la matrice A ? ai j de E dé ?nie par ai j ? ?? ?? ??i ? j et B la matrice de E dont tous les coe ?cients sont égaux à Les matrices A et B sont-elles orthogonales pour le produit scalaire considéré On note U la matrice de E dont les coe ?cients de la première ligne sont tous égaux à et dont tous les autres coe ?cients sont nuls Déterminer l ? orthogonal de U Dans cette question on suppose que n ? m E désigne alors Mn ?? ? ?? ?? ?? a Démontrer que pour tout A ? E on a tr A n tr t AA b On note F l ? ensemble des matrices scalaires G l ? ensemble des matrices diagonales H l ? ensemble des matrices symétriques Déterminer les orthogonaux de F G H Soit E un espace euclidien Soit u et v deux vecteurs quelconques de E Démontrer que u et v sont orthogonaux si et seulement si pour tout réel t on a u ? tv u Soit E un espace euclidien de dimension n On note B une base orthonormée de E Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension p ?? ?? Soit F ? a a ap une base orthonormée de F On note P la projection orthogonale sur F p ? Rappeler l ? expression de P ?? x ?? ? ??ak x ?? ak pour x ? E quelconque k ? On note A ? MatB ??F ?? Démontrer que MatB ?? P ?? ? At A Soit E un espace euclidien On dit qu ? un endomorphisme f de E est symétrique lorsque pour tout couple ?? x y ?? de vecteurs de E on a ?? f ??x ?? y ?? ? ??x f ?? y ?? ?? Soit f une application de E dans E telle que pour tout couple ?? x y ?? de vecteurs de E on ait ?? f ??x ?? y ?? ? ??x f ?? y ?? ?? Démontrer que f est linéaire Soit f ? L ??E ?? Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes ? f est symétrique Il existe une base orthonormée B de E telle que MatB ?? f ?? est symétrique