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Exampartiel 2006 statistique

Université Galatasaray Département d'Economie E Statistique Examen partiel du mai durée de l'épreuve heures Remarques Tables des lois ainsi que les calculatrices sont autorisées Exercice points Donner brièvement les principales propriétés des lois des probabilités Exercice points Supposer que la vitesse d'un objet A VA et celle d'un objet B VB sont des variables aléatoires indépendantes suivant toutes les deux une loi Laplace- Gauss loi Normale L'Espérance mathématique de VA est km h et sa variance est de km h En ce qui concerne la vitesse de l'objet B l'espérance est égale à km h et l'écart type est de km h On observe la vitesse de ces deux objets Donner séparément la probabilité pour laquelle la vitesse de A est inférieure ou égale à km h et que celle de B est inférieure ou égale à km h Pourqoui ce résultat est logique Calculer P VA et en même temps P ? VB ? L'Energie consommée par les objets A et B que l'on va noter respectivement EA et EB sont deux variables aléatoires indépendantes D'autre part on sait que EA et EB sont des fonctions linéaires de la vitesse des objets telles que EA VA et EB VB ?? Ecrire la loi suivie de EA ainsi que celle de EB Trouver P EA ? ou P EB Pour une probabilité de donner le niveau d'énergie consommée par l'objet B que l'on va noter EB ? tel que EB ? ? EB Exercice points Soit X une variable aléatoire continue avec l'espérance égale à et la va- riance égale à ? En écrivant la densité de probabilité de X démontrer que la fonction génératrice des moments de X peut s'écrire de la manière suivante MX t et ? t CExercice points Dans un processus de production des tapis la taille en m des tapis pro- duits est une variable aléatoire continue que l'on va noter X On va supposer dans un premier temps que X a une distribution gamma avec des paramètres habituelles r et a Donner la densité de probabilité de la variabe aléatoire X que l'on note f x au cas o? r b Calculer l'espérance et la variance de X pour r et On suppose désormais que X suit une loi chi-carré à n degré de liberté C Sur un tapis vendu le producteur des tapis fait un pro t positif égal à YTL si la taille du tapis est comprise entre m et m Pour les autres tapis dont la taille est en dehors de cette intervalle il enregistre une perte de YTL sur un tapis vendu C Calculer l'espérance de pro t par tapis pour n Vous allez en déduire approximativement l'une des hypothèses traditionnelles de la concurrence pure et parfaite en microéconomie C