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Les quaternions et les rotations

LES QUATERNIONS ET LES ROTATIONSLes nombres complexes C La construction du corps non commutatif H de quaternions est une variante plus compliquée de la construction du corps commutatif C de nombres complexes Donc on commence en rappelant la construction de C à partir de R Les nombres complexes s ? écrivent a bi avec a b ?? R Donc C est un espace vectoriel sur R de dimension avec base i La loi d ? addition de C est celle que C possède en tant qu ? espace vectoriel La multiplication est R- bilinéaire ? et est l ? élément neutre Cela signi ?e qu ? on peut développer un produit comme a bi c di ac adi bci bdi Finalement on ?xe i ?? Cela nous donne la formule a bi c di ac ??bd ad bc i Quand on dé ?nit C et ses opérations dans cette façon il n ? est pas évident a priori que la multiplication est associative ou commutative Les autres propriétés des lois ?? l ? addition est associative et commutative avec un élément neutre et des opposés avec z ??z et il y a la loi de distributivité ?? se déduisent des faits que C est un R-espace vectoriel et la multiplication est bilinéaire Pour l ? associativité de la multiplication on pourrait développer les deux membres de l ? équation a bi c di e f i a bi c di e f i et les comparer Mais c ? est un peu lourd Après développement il y a termes de chaque côté Mais à cause de la bilinéarité de la multiplication on peut réduire ce calcul à la véri ?cation qu ? on a uv w u vw pour u v w ?? i Cela remplace un calcul légèrement gros avec termes par petits calculs De plus des calculs sont pris en charge par le lemme suivant Lemme Soit E un ensemble muni d ? une loi de multiplication E ? E ? E avec un élément neutre ?? E satisfaisant à u u u pour tout u ?? E Alors pour tout u v ?? E on a u v uv u v u v uv u v En e ?et toutes ces expressions sont égales à uv Ce lemme s ? occupe de tous les calculs de uv w u vw avec u v w ?? i avec au moins un des nombres u v w est Il nous reste un seul calcul ii i ?? i ??i i ?? i ii Donc la véri ?cation de l ? associatitivité de la multiplication dans C peut se réduire au petit calcul si on prend compte de la bilinéarité de la multiplication et des propriétés de l ? élément neutre ? La R-bilinéarité signi ?e que pour r ?? R et u v w ?? C ou H on a u v w uw vw ru v r uv u v w uv uw u rv r uv C