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Ltz yd lmk rn pdf Leçon n Croissance comparée des fonctions réelles x ? ex x ? xn et x ? ln x Niveau Terminale S Prérequis fonctions exponentielles et logarithmes théorème des gendarmes Références Introduction Rappel sur les formes indéterminées Propriété

Leçon n Croissance comparée des fonctions réelles x ? ex x ? xn et x ? ln x Niveau Terminale S Prérequis fonctions exponentielles et logarithmes théorème des gendarmes Références Introduction Rappel sur les formes indéterminées Propriété Les formes indéterminées sont de quatre types du type ? ?? ? du type ? ? du type ? ? du type Croissance comparée à quoi ça sert Les croissances comparées permettent de lever ce genre d ? indétermination Elles interviennent quand on calcule une limite ?? d ? un rapport ou un produit d ? une fonction puissance et un logarithme ?? d ? un rapport ou un produit d ? une fonction puissance et une exponentielle On établit donc un rapport de force ? entre ces classes de fonctions On va dire qu ? une classe de fonction tend plus au moins rapidement vers l ? in ?ni qu ? une autre classe de fonction Du plus fort au plus faible on a ?? exponentielles ?? puissances ?? logarithmes Cela se voit encore mieux sur un graphique voir la ?gure Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes Théorème lim x ? ? ln x x lim x ? ? ln x xn pour tout n ?? N ? lim x ln x x ? C Leçon n ? Croissance comparée des fonctions réelles x ? ex x ? xn et x ? ln x O FIGURE ?? Croissances comparées lim xn ln x pour tout n ?? N ? x ? Dv ? Démonstration du théorème ?? On peut écrire pour tout x ln ?? x ?? x ln x ?? x et pour x on a ln x ?? x ?? ln x x ?? x Comme limx ? ? ?? x on a d ? après le théorème des gendarmes lim x ? ? ln x x On en déduit comme simple conséquence que pour n ? lim x ? ? ln x xn lim x ? ? xn ?? ln x x lc ? aaridleimdxu ?c ha ? ngxenm ??e nt de veatrilaibmlex ?du t ? yplenxXx On x établit maintenant la limite suivante à lim x ? x ln x lim X ? ? X ln X lim X ? ? ?? ln X X C Croissance comparée des fonctions puissances et logarithmes d ? après ce qui précède On en déduit comme simple conséquence que pour n ? lim xn ln x lim xn ?? x ln x x ? x ? car limx ? xn ?? et limx ? x ln x En ?n pour la dernière limite on reconna? t l ? accroissement moyen de la fonction ln en x La limite est donc égale au nombre dérivé de la fonction ln en x soit x lim x ? ln x x ?? lim x ? ln x ?? ln x ?? ln ? Corollaire Pour toute fonction polynôme P de degré supérieur ou égal à on a lim x ? ? ln x