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Mat451 corrige 2015 x2013 E ?cole Polytechnique Algebre et th ?eorie de Galois MAT Corrig ?e du contr ole classant Ce corrig ?e constitue un ensemble d ? indications pour r ?esoudre les exercices Il ne s ? agit en aucun cas d ? un modele de r ?edaction po

E ?cole Polytechnique Algebre et th ?eorie de Galois MAT Corrig ?e du contr ole classant Ce corrig ?e constitue un ensemble d ? indications pour r ?esoudre les exercices Il ne s ? agit en aucun cas d ? un modele de r ?edaction pour le contro le classant Exercice K Q et K Q sont galoisiennes d ? apres le cours Comme P annule les conjugu ?es de sur Q sont produit par par une racine eme de Donc est le seul conjugu ?e r ?eel de Comme il n ? est pas rationnel a des conjugu ?es non r ?eels qui ne sont donc pas dans K L ? extension K Q n ? est pas galoisienne Il s ? agit d ? une extension cyclotomique D ? apres le cours le groupe de Galois est isomorphe au groupe des inversibles Z Z ? Comme Z Z est un corps ce groupe est cyclique isomorphea Z Z Il s ? agit d ? une extension cyclique comme ?etudi ?ee dans le cours Le groupe de Galois est donc cyclique sous-groupe de Z Z Comme est premier le groupe de Galois est isomorphe aZ Z Les racines de P s ? expriment comme produit de par une puissance de donc K est contenu dans ce corps Mais K contient et ou on note exp i ? Donc ce corps est K Base t ?elescopique en utilisant K On a la suite exacte ? Gal K K ? Gal K Q ? Gal K Q ? Or Gal K K et Gal K Q sont commutatifs donc r ?esolubles Donc Gal K Q est r ?esoluble Si il ?etait r ?eductible il serait de la forme P P avec P P ?? Z X d ? apres le lemme de Gauss Alors P P On r ?eduit modulo le produit est X Donc P et P sont pairs Contradiction ceci revient a utiliser Eisenstein On a donc K Q premier avec K Q Donc l ? intersection est Q C Le groupe Gal K Q Z Z contient un unique sous-groupe d ? ordre Il s ? agit du sous-groupe engendr ?e par la conjugaison complexe On a donc le r ?esultat en utilisant la correspondance de Galois Ensuite K ??R est bien l ? ensemble des points ?xes de K par la conjugaison complexe Consid ?erons ?? cos ? ?? ?? K ?? R On a e ??t donc et ?? Donc ?? Q et K ?? R Q Q L est le corps des invariants de K pour la conjugaison complexe donc d ? apr es la correspondance de Galois L Q De plus L contient K et L de degr ?es respectifs et sur Q premiers entre eux Le corps qu ? ils engendrent est donc L ?? Si c ? ?etait le cas on aurait deux extensions de degr ?e Q i et Q dans K Donc G ??al K Q admettrait deux sous-groupes G