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Probabilite exercices corrige

S BENHMIDA Exercices Calcul des probabilités Exercices Corrigés Exercice Soit une bo? te contenant composants électroniques dont sont défectueux On y tire au hasard et successivement composants avec remise si le composant est normal sinon on le garde Calculer la probabilité d ? avoir les trois composants défectueux Calculer la probabilité d ? avoir les trois composants normaux Solution Si on note les événements Di avoir un composant défectueux au ième tirage ? Ni avoir un composant normal au ième tirage ? P D D D P D P D D P D D D ? ? P N N N P N P N N P N N N P N P N P N ? ? Exercice Dans une usine machines fabriquent des pièces mécaniques dans les proportions respectives suivantes p p et p On sait que le les taux de production de pièces défectueuses par les machines sont respectivement de et On choisit au hasard une pièce dans un lot de pièces fabriquées par l ? usine et on constate qu ? elle est défectueuse Quelle est probabilité qu ? elle soit fabriquée par la ème machine Solution Si on note les événements D la pièce est défectueuse ? Mi la pièce est fabriquée par la ième machine ? On a i P M P M et P M ii P D M P D M et P D M Donc par le théorème de Bayes on calcule la probabilité a posteriori P M D P M D ? P M P D M ? P M j P D M j ? ? j ? Exercice Un lot de pièces mécaniques contient de pièces défectueuses On tire au hasard pièces avec remise dans ce lot Calculer la probabilité d'avoir pièces défectueuses parmi les pièces tirées Solution Soit A l'événement avoir une pièce défectueuse lors d'un tirage d'o? P A p Tirer pièces avec remise revient à e ?ectuer expériences de Bernoulli indépendantes Soit X la v a associée au nombre de pièces défectueuses parmi les pièces tirées D'o? X B Donc DX ? et pour tout k ? DX on a On calcule alors P X ? ? C ? Exercice On sait que d'une population de personnes ont une maladie M On choisit au hasard et sans remise un échantillon de personnes dans cette population Calculer la probabilité d'avoir seule personne malade dans l'échantillon Solution On a N et p donc N pN et N N-N Soit X la v a associée au nombre de personnes malades parmi les choisies D'o? X H Donc DX k ? N sup - ? k ? inf DX k ? N ? k ? et pour tout k ? DX on a P X ? k ? C k ? C ??k C i Avec la loi exacte de X on a calcul fait par Excel P X ? ? C ? C C ? CS BENHMIDA Exercices Calcul des probabilités ii Le taux de sondage donc on