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Td2 proba ENIT ère année Probabilités et Statistiques Variables Aléatoires Exercice Connaissant la fonction de densité discrète f x e ?? x x Déterminer P X Calculer P X Démontrer que e ?? est la constante pour laquelle la fonction c x est une densité de p

ENIT ère année Probabilités et Statistiques Variables Aléatoires Exercice Connaissant la fonction de densité discrète f x e ?? x x Déterminer P X Calculer P X Démontrer que e ?? est la constante pour laquelle la fonction c x est une densité de probabilité A quelle condition portant sur ?n pn n n ? E sont-ils les coe cients d'une loi de probabilité pour ? C Exercice Soit a un réel non nul On considère la suite un dé nie par C an ??n ?? N un n Pour quelle valeur du réel a la suite un dé nit-elle bien une loi de probabilité Exercice On considère une urne contenant une B boule blanche et deux boules noires identiques On e ectue deux tirages successifs dans cette urne la première boule tirée étant remplacée par une B boule de couleur di érente On demande de construire l'ensemble fondamental associé à cette épreuve aléatoire si l'on tient compte de l'ordre des tirages et de déterminer la probabilité de chacun des évènements élementaires En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente le nombre de boules noires tirées Exercice Dans une urne on place n boules portant des numéros à distincts Un premier joueur Be ectue des tirages d'une boule sans remise jusqu'à ce qu'il obtienne la boule B portant le plus grand numéro On note X le nombre de tirages e ectués par B ce joueur S'il reste des boules dans l'urne un second joueur e ectue la même expérience sur les boules restantes On note X le nombre de tirages Be ectués par ce second joueur Déterminer la loi de probabilité de X Déterminer la loi de probabilité de X conditionnée par X Exercice Soit n un entier non nul Dans une urne contenant initialement n boules numérotées à n on Be ectue deux tirages successifs d'une boule selon le protocole suivant Si on note k k ?? n le numéro de la boule tirée au premier tirage celle-ci est remise dans l'urne avec k boules supplémentaires portant B toutes le numéro k on e ectue alors un second tirage On appelle X la variable égale au numéro de la boule tirée au premier tirage et X celle égale au numéro de la boule tirée au second tirage Déterminer la loi de probabilité de X Déterminer la loi de C probabilité de X et véri er que n p X k k CExercice Une urne contient n boules blanches et n boules noires On tire les boules au hasard et sans remise jusqu'à ce que l'on ait tiré la dernière boule blanche Soit k le nombre total de boules tirées Déterminer la loi de probabilité de k En déduire la valeur de la somme k n k ?? Sn k ?? n k n Exercice Soit Ai i ??N une suite d'évènements indépendants de même probabilité a a par exemple Ai obtenir au ie me lancer de trois dés Pour r entier ? on note