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Td3 Université d ? Alger Faculté des Sciences Master ASD TD N Probabilité Année Département MI Exercice Soit un dispositif technique comprenant deux éléments montés en parallèle et fonctionnant indépendamment l ? un de l ? autre Chaque élément a une ?abil

Université d ? Alger Faculté des Sciences Master ASD TD N Probabilité Année Département MI Exercice Soit un dispositif technique comprenant deux éléments montés en parallèle et fonctionnant indépendamment l ? un de l ? autre Chaque élément a une ?abilité égale à p au cours d ? une journée et il n ? y a pas de possibilité de réparation Si Xn est la chaine de Markov qui modélise le nombre d ? éléments en panne au début de la n-ème journée ? Déterminer la matrice des probabilités de transition et le graphe des transitions ? Si l ? on admet que les deux éléments sont en état de fonctionnement à l ? instant n quelle est la distribution du nombre d ? éléments en panne après n jours Exercice Soit N t t ? un processus de comptage et Sn le temps écoulé jusqu ? à la réalisation du nième événement Montrer que P N t n P Sn ? t ?? P Sn ? t Exercice Soit N t t ? un processus de Poisson de taux ? Montrer que N t P ?t Exercice Soit N t t ? N t t ? deux processus de Poisson de taux ? ? Montrer que N t N t t ? est un processus de Poisson de taux ? ? Montrer que la probabilité que la première occurrence du processus N N soit issus de N est ? ? ? Exercice Soit X t t ? un processus de Poisson de paramètre ? On suppose que chaque arrivée est enregistrée avec une probabilité p indépendamment des autres arrivées Soit Y t t ? le processus des arrivées enregistrées Démontrer que Y t t ? est un processus de Poisson de taux p ? Exercice Soient N t t ? N t t ? deux processus de Poisson indépendants de paramètres ? ? Quelle est la distribution du nombre d ? evénements X de N se produisant entre deux evénements consécutifs de N C