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e devoir ts1 second semestre 07 1

Lycee Alboury Ndiaye Linguère Mr Barry Année scolaire Classe T S Durée heures Devoir n du deuxième semestre Mathématiques Exercice I Bac pts Soit ?? la fonction numérique dé ?nie par ? t ? ? ?? ??t ?? ? ? et ? tet Etudier les variations de ?? En déduire le signe de ?? ??t ?? pt On dé ?nit la fonction numérique f par f ?? ?? ? et ? x ? IR f ??x ?? ? x ? e x a Etudier la continuité et la dérivabilité de f en pt b Etudier les variations de f Montrer que la droite d ? équation y ? x ?? est asymptote à la courbe représentative de f on pourra poser t ? x pts c Construire la courbe représentative de f dans un repère orthonormé l ? unité de longueur étant cm On admettra que la courbe est au dessus de l ? asymptote Le calculatrice nous donne pt x ex Exercice II Bac pts Dans le plan muni d ? un repère orthonormé direct ? ?? ?? O i j ? ? ? soit ?? ?? ?? la courbe d ? équation x y xy ?? Trouver l ? équation de ?? ?? ?? dans le repère ? ?? ?? O i ' j' ? ? ? déduit de ? ?? ?? O i j ? ? ? par une rotation de centre O et d ? angle ? pts En déduire la nature de ?? ?? ?? et ses éléments caractéristiques pts Exercice III Bac pts Soit n un entier naturel non nul et soit q un nombre réel di ?érent de - et On considère dans le plan complexe les n points A A ? An- d ? a ?xes respectives z z ? zn- ?? ?? ?? ? Démontrer que le système de points pondérés Ak qk ? k ? n ?? admet un barycentre Gn pt On choisit les nombres complexes zk de la manière suivante z z ? cos ? n ? i sin ? n et zk ? ??z ??k pour ? k ? n ?? a Déterminer l ? a ?xe Zn de Gn à l ? aide de q et de z pt b Préciser la partie reélle Xn et la partie imaginaire Yn de Zn pt a Déterminer n pour que Zn soit réel pt b Calculer les limites de Xn et Yn lorsque n tend vers En déduire la position limite du point Gn lorsque n tend vers pt Exercice IV Bac pts On considère le cube ABCDEFGH d ? arête représenté ci-dessous H G Soit L le centre du carré ABFE et J le milieu de AL Soit la E F similitude directe f du plan ABF telle que f A L et f B J a Déterminer l ? angle et le rapport de f pt D A C B Cb Construire E ? f E Montrer que f F est le milieu du segment AB