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Corrige re sidus Méthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur Istil ère année Corrigé de la feuille Méthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur ISTIL ère Corrigé de la année feuille Rappel formule des Résidus Soit F une fonction méromorphe sur un ouvert de C e

Méthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur Istil ère année Corrigé de la feuille Méthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur ISTIL ère Corrigé de la année feuille Rappel formule des Résidus Soit F une fonction méromorphe sur un ouvert de C et soit ? un lacet de Alors F z dz i ? Res F z ? z ??Int ? Exercice On cherche à calculer l ? intégrale I a ? a d a sin Si on change a en ??a on change le signe du résultat On peut donc supposer que a les intégrales pour a s ? en déduiront en changeant le signe Rappel intégrales en cos et sin Pour calculer une intégrale de la forme ? F cos sin d ?? ? il su ?t de poser z e i et on se ramène alors à une intégrale sur le cercle unité d ? une fonction de la variable complexe Le cosinus et le sinus sont transformés à l ? aide des formules d ? Euler cos sin e i e i e ??i ??e ??i i z z ??z iz ? L ? intégrale que l ? on cherche à calculer est donc égale à l ? intégrale le long du cercle unité de la fonction z ?? ? iz F z z z ?? iz généré avec LATEX Tous les commentaires compléments insultes et remarques désobligeantes sont les bienvenus à perrier math univ-lyon fr CMéthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur Istil ère année Corrigé de la feuille Comme la fonction ? a a sin est paire on a ? a a d sin ? a d ?? ? a sin Posons z e i On a alors dz ie i d izd Par ailleurs a a sin a a z ?? iz a a ?? z ?? ?? azz z ?? ?? a z a a sin z ?? az ?? az ?? z az ?? Notons C le cercle unité On obtient ainsi ? ?? ? a a d sin C z ?? az ?? iaz z az ?? dz Les singularités de la fonction sont racines des polynômes z ?? az ?? et z az ?? Déterminons ces racines ? z ?? az ?? ?? Les racines de ce polynôme sont a ?? a ? z az ?? ?? Les racines de ce polynôme sont ??a ?? a Com ??me on a supposé ??que a seules deux racines sont dans le cercle unité a ?? a et ??a a ?? z a ?? a ?? z a a ?? z ??a ?? a ?? z ??a a L ? application de la formule des résidus donne C z ?? az ?? iaz z az ?? dz i ? ?? Res F a ?? a ?? Res F ??a a CMéthodes Mathématiques pour l ? Ingénieur Istil ère année Corrigé de la feuille ?? ?? Il reste à calculer les résidus de F en a ?? a et ??a a Rappel calcul du résidu pour