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Devoir de controle n01 math bac mathematiques 2016 2017 mr loukil mohamed

Lycée Houmet Souk Devoir de Contrôle N Mathématiques Prof Loukil Mohamed Durée Heures - - EXERCICE N points On considère les suites réelles Un Vn et Sn dé ?nies sur IN par U V U n Un Vn V n Un Vn et Sn Vn - Un a Montrer que Sn est une suite géométrique b Exprimer alors Sn en fonction de n puis déduire lim Sn n a Montrer que pour tout entier naturel n Un Vn b Montrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante sur IN c Justi ?er que les deux suites Un et Vn convergent vers la même limite l a Montrer que pour tout entier naturel n Un Vn b Déduire alors la valeur de l EXERCICE N points A Montrer que l'équation E x x - admet dans IR une unique solution ?? Donner un encadrement de ?? d'amplitude - B On se propose dans cette partie de déterminer la valeur exacte de ?? On considère dans les équations suivantes E Z - et E Z a Justi ?er que les solutions de E sont a - a ? e i ? et a e- i ? b Justi ?er que les solutions de E sont b b e i ? et b e- i ? c Véri ?er que a b a b a b - Soient a et b deux nombres complexes véri ?ant a b et ab - a Véri ?er que a b est une solution de l'équation E ' Z Z - b Déduire alors dans les solutions de l'équation E ' c Conclure - - CEXERCICE N points A Prouver que la fonction tan est une bijection de - ? ? sur IR B Soit n un entier naturel non nul et fn la fonction dé ?nie sur ? par fn x x n - n tan x a Justi ?er que fn est strictement décroissante sur ? b En déduire que l'équation fn x admet une unique solution ??n dans ? c Véri ?er que ??n ? ? ? et que tan ??n ??n n On dé ?nit sur IN la suite ??n a Montrer que pour tout n ? IN fn ??n b Déduire que la suite ??n est décroissante sur IN c Prouver que la suite ??n est convergente et déterminer sa limite EXERCICE N points Dans le plan complexe muni d ? un repère orthonormé direct O u v on considère le point A d'a ?xe - et les points M N et P d'a ?xes respectives Z Z et Z o? Z est un nombre complexe non nul di ?érent de - et Montrer que le triangle MNP est rectangle en P si et seulement si Z Z est imaginaire pur Soit C l'ensemble des points M tels que le triangle MNP soit rectangle en P a On pose Z x iy o? x et y sont des réels Ecrire Z Z sous forme cartésienne b Déduire que