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Devoir libre 2 bac sm SM A et B Devoir libre N Exercice ? Calculer ln x dx g Calculer la limite de la suite un ? dé ?nie par un n fk n fn e ? n k k Exercice Soit f on dé ?nie sur par f x e x et V le volume du solide S e engendré par la rotation de

SM A et B Devoir libre N Exercice ? Calculer ln x dx g Calculer la limite de la suite un ? dé ?nie par un n fk n fn e ? n k k Exercice Soit f on dé ?nie sur par f x e x et V le volume du solide S e engendré par la rotation de de Cf un tour complet autour de l ? axe des abscisse Ox dans un repère orthonormé Figure ci-centre ?x On considère les fonctions dé ?nies sur par F x e tdt et ? x G x tetdt a Montrer que F et G sont dérivables sur puis calculer F x et G x pour tout x P b Montrer que x P G x x ? e x Calculer le volume V du solide S Exercice Les parties I II et III sont indépendantes Partie I Résoudre dans l ? ensemble C l ? équation E z En déduire dans C les solutions de l ? équation z ? z sous leurs formes algébriques Partie II Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé directe O ? u ? v ? i Soit B le point d ? a ?xe j e Soit f l ? application qui à tout point M z di ?érent de B associe le point M z tel que z jz z ?j véri ?er que j j et que j j Année Scolaire ? Lydex Behgurir C a Montrer que z j z ?j z ? j en déduire que M ? B b Montrer que les points B M et M sont alignés c On pose E l ? ensemble des points invariants par f Montrer que E est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon Partie III On considère le point d ? a ?xe Et soit r la rotation de centre et d ? angle ? et h l ? homothétie de centre et de rapport Pour tout point M z du plan on pose M z son image par l ? application g h r Montrer que z ? z i ? z En déduire la nature du triangle M M lorsqueM ? Soit A le point d ? a ?xe a i Pour tout entier naturel n on pose A A et An g An et on pose zn l ? a ?xe du point An Montrer que zn n n i e ? Déterminer l ? entier naturel n pour que les points A et An soient alignés Exercice ?e Pour tout n P N on pose In ? ln t n t dt Calculer I Montrer que la suite In est décroissante en déduire qu ? elle est convergente ? a Montrer que n P N In ? t n e tdt b En déduire que n P N n In ? e n puis calculer lim In n? ?e c Montrer que n P N ? In n In ? ?