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Cours d ? électromagnétisme EM -Outils mathématiques Table des matières Les systèmes de coordonnées Les coordonnées cartésiennes Les coordonnées cylindriques Les coordonnées sphériques Relation entre coordonnées L ? opérateur nabla L ? opérateur nabla Gradient d ? un champ scalaire Gradient en coordonnées cartésiennes Gradient dans d ? autres systèmes de coordonnées Divergence d ? un champ vectoriel Rotationnel d ? un champ vectoriel Références CElectromagnétisme EM -Outils mathématiques Les systèmes de coordonnées Les systèmes de coordonnées En physique selon la physionomie du problème étudié on choisit entre trois systèmes de coordonnées Les coordonnées cartésiennes Les coordonnées cartésiennes sont les coordonnées les plus faciles à manipuler Un point M de l ? espace est repéré par trois coordonnées xM yM zM Le repère est muni de trois vecteurs unitaires ?? ?ex ?? ?ey ?? ?ez qui donnent l ? orientation de celui-ci Dans ce système de coordonnées un déplacement élémentaire est noté ?? ? dl dx ?? ?ex dy ?? ?ey dz ?? ?ez Figure ?? Coordonnées cartésiennes On peut aussi dé ?nir une surface élémentaire dans le plan xOy par exemple dS dx ? dy En ?n on peut dé ?nir un volume élémentaire d dx ? dy ? dz Figure ?? Volume et surface élémentaires en coordonnées cartésiennes CElectromagnétisme EM -Outils mathématiques Les coordonnées cylindriques Les coordonnées cylindriques Dans ce système de coordonnées un point M de l ? espace est repéré par un rayon r OM un angle angle entre l ? axe Ox et la projection du rayon OM sur le plan xOy et une hauteur z par rapport au plan xOy On dé ?nit aussi trois vecteurs unitaires ?? ?er ?? ?e ?? ?ez que l ? on place généralement au niveau du point M ou de son projeté sur la plan xOy Dans ce système de coordonnées un déplacement élémentaire s ? écrit ?? ? dl dr ?? ?er rd ?? ?e dz ?? ?ez Figure ?? Coordonnées cylindriques Ainsi une surface élémentaire s ? écrit dS dr ? rd Et un volume élémentaire est dé ?ni par d dr ? rd ? dz Figure ?? Surface élémentaire en coordonnées cylindriques CElectromagnétisme EM -Outils mathématiques Les coordonnées sphériques Les coordonnées sphériques Dans ce système de coordonnées un point M de l ? espace est repéré par un rayon r OM et deux angles un angle angle entre l ? axe Oz et le rayon OM sur le plan xOy un angle angle entre l ? axe Ox et la projection du rayon OM sur le plan xOy Trois vecteurs unitaires ?? ?er ?? ?e ?? ?e donnent l ? orien- tation du repère Figure ?? Coordonnées sphériques Dans ce système de coordonnées un déplacement élémentaire s ? écrit ?? ? dl dr ?? ?er rd ?? ?e r sin d ?? ?e Une surface élémentaire s ? écrit dS rd ? rsin d Et un volume élémentaire est dé ?ni par d dr ? rd ? rsin d Figure ?? Surface élémentaire en coordonnées