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reduction pdf Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans tout ce chapitre K désigne R ou C I - Rappels de maths sup et compléments Matrices semblables Dé ?nition Soit A B ?? Mn K La matrice A est semblable à la matrice B si et seulement si

Réduction des endomorphismes et des matrices carrées Dans tout ce chapitre K désigne R ou C I - Rappels de maths sup et compléments Matrices semblables Dé ?nition Soit A B ?? Mn K La matrice A est semblable à la matrice B si et seulement si il existe P ?? GLn K telle que B P ?? AP Théorème La relation A est semblable à B ? est une relation d ? équivalence sur Mn K Démonstration Ré exivité Soit A ?? Mn K La matrice In est inversible et A I ??n AIn Donc il existe P ?? GLn K telle que A P ?? AP ce qui montre que A est semblable à A Symétrie Soit A B ?? Mn K Supposons A semblable à B Alors il existe P ?? GLn K telle que B P ?? AP On en déduit que A PBP ?? ou encore A P ?? ?? BP ?? La matrice P ?? P ?? est une matrice inversible telle que A P ?? ?? BP ?? et donc B est semblable à A Transitivité Soit A B C ?? Mn K Supposons A semblable à B et B semblable à C Alors il existe P P ?? ?? GLn K telle que B P ?? AP et C P ?? ?? BP ?? On en déduit que C P ?? ?? P ?? APP ?? PP ?? ?? A PP ?? La matrice P ?? ?? PP ?? est une matrice inversible telle que C P ?? ?? ?? AP ?? ?? et donc A est semblable à C Commentaire On peut donc dorénavant dire les matrices A et B sont semblables Rappelons maintenant sans démonstration le lien avec les changements de base Théorème Soit E un K-espace vectoriel de dimension ?nie n ?? N ? Soit f ?? L E Soient B et B ?? deux bases de E Soient A MatB f B MatB ?? f et P PBB ?? Alors B P ?? AP ou aussi A PBP ?? Ainsi deux matrices A et B sont semblables sont aussi les matrices d ? un même endomorphisme dans deux bases d ? un même espace de dimension ?nie Deux matrices semblables ont donc de nombreuses propriétés en commun Théorème Soit A B ?? Mn K On suppose que A et B sont semblables Alors ? rg A rg B ? Tr A Tr B et det A det B Si deux matrices ont même trace et ou même déterminant et ou même rang ces deux matrices ne sont pas nécessairement semblables Par exemple la matrice A et la matrice I ont toutes deux une trace égale à un déterminant égal à et un rang égal à Pourtant ces deux matrices ne sont pas semblables car une matrice semblable à I est nécessairement égale à I De manière générale une matrice semblable à ?In ? ?? K est égale à ?In ou encore la classe de similitude d ? une