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Epreuve mars 2021 Universit ?e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult ?e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M Analyse D ?epartement de Math ?ematiques Ann ?ee - Dur ?ee heure min Responsables A ABASSI M MALIKI Partiel Analyse - Mars Nom et

Universit ?e Hassan II de Casablanca Parcours MIP Facult ?e des Sciences et Techniques Mohammedia Module M Analyse D ?epartement de Math ?ematiques Ann ?ee - Dur ?ee heure min Responsables A ABASSI M MALIKI Partiel Analyse - Mars Nom et Pr ?enom Exercice Les questions suivantes sont ind ?ependantes Pour chaque question a ?rmations sont propos ?ees parmi lesquelles seule est vraie Pour chaque question cochez puis expliquez la r ?eponse que vous pensez vraie Quelle est l ? assertion vraie Le nombre e ??st irrationnel l ? ?ecriture d ?ecimamle de est ?nie ou p ?eriodique l ? ?ecriture d ?ecimale de n n n ?? N est ?nie ou p ?eriodique Un nombre r ?eel qui admet une ?ecriture d ?ecimale in ?nie est irrationnel Explication On consid ere l ? ensemble A ?? n n n n ?? N ? A n est pas borne ?e max A et min A min A et max A inf A et max A Explication Soit un n une suite r ?eelle Alors u n n est extraite de u n n u n n est extraite de u n n u n n est extraite de u n n u n n est extraite de u n n Explication On consid ere trois suites r ?eelles un vn et wn telles que ??n ?? N vn ? un ? wn lim vn ?? et lim wn Alors n ? ? n ? ? lim n ? ? un ??n ?? N ?? ? un ? un n est borne ?e un n diverge vers ? Explication C Soit f la fonction d ?e ?nie par f x x ?? On a f f donc ??c ?? tel que f c f f donc ??c ?? tel que f c Le th ?eoreme de Rolle ne s ? applique pasa f sur Le th ?eoreme de Rolle ne s ? applique pasa f sur car f f Explication Quelle est la d ?eriv ?ee de la fonction f f x arcsin ?? x f x ?? ?? x f x arccos x ?? f x ?? x x ??x f x arccos x ?? f x ?? x x ?? f x arcsin ?? x f x ?? ?? x x ??x Explication Exercice On consid ere f la fonction de la variable r ?eelle x d ?e ?nie par f x x ?? ?? arctan x ?? Montrer que l ? ?equation f x admet une racine unique ?? Soit un n ??N la suite r ?eelle d ?e ?nie par u un arctan un ??n ?? N ? En posant g x ? arctan x montrer que f x ?? g x x C ?? ? Montrer que ? un ? ??n ?? N ? Etudier la monotonie de la suite un n ? D ?eduire la convergence de la suite un n en pr ?ecisant sa limite Exercice Soit f la fonction d ?e ?nie sur