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Chap 02 determinants pdf 3

Déterminants ??- ? Sommaire Déterminant d ? une matrice carrée Déterminant d ? une famille de vecteurs Déterminant d ? une matrice carrée A Déterminant d ? une famille de vecteurs Interprétation en dimensions et Propriétés élémentaires Déterminant de la transposée Interprétation géométrique Caractérisation des bases Manipulation de colonnes Déterminant d ? une matrice triangulaire Déterminant d ? un endomorphisme Déterminant d ? un produit Déterminant d ? un endomorphisme Déterminant de matrices semblables dans une base Déterminant d ? un endomorphisme Calcul de déterminants Déterminant de la composée En dimension et Caractérisation des automorphismes Dév selon une ligne ou colonne Déterminant de l ? endomorphisme réci- Exemples proque Déterminant d ? une matrice carrée Déterminant d ? une matrice carrée A Théorème On considère les applications de Mn dans qui de plus véri ?ent les propriétés suivantes ? elles sont linéaires par rapport à chaque colonne ? qui sont multipliées par ?? quand on inverse deux colonnes ? et telles que la matrice In a pour image Il existe une et une seule application véri ?ant ces trois conditions Dé ?nition Cette application est appelée le déterminant de la matrice on note det A ce déterminant Quand on écrit le déterminant avec une matrice explicite on le note comme une matrice mais avec des barres verticales au lieu de parenthèses par exemple Démonstration On admet l ? existence et l ? unicité du déterminant d ? une matrice de Mn On va simplement faire le calcul en dimension ac c c Par linéarité par rapport à la première colonne on a a b bd d d Par linéarité par rapport à la deuxième colonne on obtient maintenant a b c d F EB F ECF ECF ECF EDF ECF EC a c d F F F F F F F F F F F F F F b F EB F ECF ECF EDF ECF ECF EC c d F F F F F F F F F F F F F F On remarque que ?? en inversant les deux colonnes c ? est donc nul On a aussi ?? en inversant les deux colonnes c ? est donc aussi nul Par dé ?nition Cours de Spé T S I ? Christophe Caignaert ?? Lycée Colbert ?? ? ? ?? ? ? Tourcoing ?? http c caignaert free fr C ??- ?? Déterminants En ?n ?? ?? ac Finalement ad ?? bc bd Cette démonstration n ? est valable qu ? en dimension même si son principe est valable dans toutes les dimensions Interprétation en dimensions et On a bien vu en dimension qu ? on retrouvait avec les propriétés demandées le calcul classique du déterminant Le même calcul trois fois plus long nous donnerait le déterminant connu en dimension également On rappelle l ? interprétation géométrique de ces déterminants lorsque les colonnes sont les coordonnées de ou vecteurs dans une base orthonormale directe On appelle ces vecteurs ? ??u ? ??v en dimension et ? ??u ?