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Chapitre 0 analyse vectoriel

Chapitre Eléments d ? analyse vectorielleChamp scalaire - Champ vectoriel Soit un trièdre orthonormé x y z et M un point de l ? espace de coordonnées La fonction f M est dite fonction scalaire de point M ou champ scalaire si Le vecteur v ? M est dit fonction vectorielle du point M ou champ vectoriel si Gradient d ? un champ scalaire Le gradient noté ? grad est dé ?ni à partir d ? une fonction scalaire de point et a pour composante suivant les dérivées partielles de f M par rapport à x y et z respectivement Divergence d ? un champ vectoriel La divergence noté div n ? est dé ?nie qu ? à partir d ? une fonction vectorielle v ? M de point et donne une fonction scalaire de point dé ?nie en coordonnées cartésiennes par Rotationnel d ? un champ vectoriel Le rotationnel noté ? rot d ? un champ vectoriel donne une fonction vectorielle de point dé ?nie en coordonnées cartésienne par C Laplacien scalaire Le Laplacien scalaire d ? une fonction scalaire de point noté lap ou ? ?? ??est par dé ?nition un champ scalaire dé ?ni par Dans un système de coordonnées cartésiennes il s ? écrit Laplacien vectoriel Le Laplacien vectoriel noté ? Lap ou ? ? d ? un champ vectoriel ? v est un champ vectoriel dé ?ni par Dans un système de coordonnées cartésienne le laplacien vectoriel a pour composantes Opérateur nabla Pour écrire de manière plus compacte les opérateurs vectoriels précédemment dé ?nis on introduit un vecteur symbolique appelé opérateur nabla dé ?ni par Les opérateurs vectoriels s ? écrivent parfois à l ? aide de l ? opérateur nabla sous les formes respectives suivantes C ?? le gradient d ? un champ scalaire f est noté ?? la divergence d ? un champ vectoriel est notée ?? le rotationnel d ? un champ vectoriel est noté ?? le laplacien scalaire d ? un champ scalaire est noté se lit ? del de ? ?? le laplacien vectoriel d ? un champ vectoriel est noté Théorème de Stokes-Théorème de Gauss Circulation d ? un champ vectoriel On dé ?nit la circulation d ? un vecteur ? v le long d ? un contour C par l ? intégrale curviligne CLa circulation le long d ? un contour fermé est notée par Flux d ? un champ vectoriel On dé ?nit le ux d ? un vecteur v ? à travers une surface S par l ? intégrale double Lorsque la surface S est fermée le vecteur unitaire n ? est dirigé de l ? intérieur vers l ? extérieur Théorème de Stockes La circulation d ? un vecteur le long d ? un contour fermé C limitant une surface S est égal au ux de son rotationnel à travers cette surface Ostrogradski ou théorème de la divergence Théorème de Gauss- CLe ux d ? un champ vectoriel à travers une surface fermée S est