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Controle1 corrige 1 Université Rennes Année - Master Math Algèbre générale de base Contrôle corrigé pts Exercice points Soient A un anneau et I J des idéaux bilatères de A tels que I ? J On note J I l'idéal image de J dans l'anneau quotient A I Montrez qu

Université Rennes Année - Master Math Algèbre générale de base Contrôle corrigé pts Exercice points Soient A un anneau et I J des idéaux bilatères de A tels que I ? J On note J I l'idéal image de J dans l'anneau quotient A I Montrez que les anneaux A I J I et A J sont isomorphes Considérons le morphisme surjectif d'anneaux ? A ? A I J I composé des deux morphismes surjectifs canoniques d'anneaux ? A ? A I et ? A I ? A I J I Dire que a ?? A est dans le noyau de ? c'est dire que ? a est dans le noyau de ? c'est-à-dire dans J I D'après la construction de ? C ceci signi e qu'il existe j ?? J tel que a ?? j mod I c'est-à-dire a ?? j ?? I Comme I ? J cela veut simplement dire que a ?? J Finalement ker ? J D'après le théorème de passage au quotient ou propriété universelle du morphisme de quotient ? A ? A J il existe un unique morphisme ? A J ? A I J I tel que ? ? ? et de plus le noyau de ? est égal à ker ? J et l'image de ? est égale à celle de ? c'est-à-dire A I J I Ainsi ? est un isomorphisme Exercice points Soient k un corps M k la k-algèbre des matrices de E taille à coe cients dans k et A la sous-k-algèbre engendrée par les matrices M E et N E Donnez une base de A comme k-espace vectoriel A est-il commutatif Est-ce une algèbre à division Est-ce un anneau simple pts pt pt pt C Par dé nition A est la plus petite k-algèbre contenant M et N Elle contient en particulier le sous-espace vectoriel V de M k de base I M et N Or les relations M M N M N N N M impliquent que V est stable par produit Ainsi V est une sous-k-algèbre de M k donc A V Une base de A comme k-espace vectoriel est I M N Comme M N N N M l'anneau A n'est pas commutatif Comme N et N N n'est pas inversible et l'anneau A n'est pas une algèbre à division Compte tenu des relations N N M et M N N la droite vectorielle engendrée par N est un idéal bilatère distinct de et A donc A n'est pas simple pt pt pt Exercice points Soient A un anneau u ?? A un élément inversible et n ?? A un élément nilpotent Montrez que si A est commutatif alors u n est inversible commencez par considérer le cas u Est-ce encore vrai si A n'est pas commutatif Notons k un entier tel que nk Par simple développement on trouve k ?? n ??n i ?? k ?? nk i Ainsi ki ?? ??n i est un inverse à droite pour n et comme A