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Corrige 4 Université Claude Bernard L Calcul intégral Mathématiques Correction de l'exercice feuille Oui f est mesurable car c'est la limite d'une suite de fonctions mesurables On a Enk ??p n fp ?? f ?? ?? k k Comme ?? k k est borélien car fermé et fp ??f

Université Claude Bernard L Calcul intégral Mathématiques Correction de l'exercice feuille Oui f est mesurable car c'est la limite d'une suite de fonctions mesurables On a Enk ??p n fp ?? f ?? ?? k k Comme ?? k k est borélien car fermé et fp ??f est mesurable l'ensemble fp ?? f ?? ?? k k est dans T et donc Enk aussi car la tribu T est stable par intersection dénombrable Comme n ? ? n ? on a Enk ?? Enk l'intersection pour Enk est prise sur un ensemble d'indices plus petit donc le résultat est plus gros On a ?? k k ? ?? k k et on en déduit facilement que Enk ? Enk Soit k ?? N ? Si x ?? X la suite fn x converge vers f x En appliquant la C dé nition de la limite on obtient l'existence d'un entier n tel que pour p n on a fp x ?? f x k Ainsi x ?? Enk ce qui montre que X n Enk Comme la suite Enk n est croissante on en déduit que X limn ? ? Enk Soit il existe alors un entier nk tel que Enkk X ?? ce qui implique X Enkk Cette dernière opération est licite car on a supposé que X ? Pour obtenir le résultat demandé par l'énoncé on applique ceci avec k C Soit A k ??N ? X Enkk o? nk est dé ni à la question précédente On a A X Enkk k ??N ? k k ??N ? De plus X A k ??N ? Enkk donc si x ?? X A on a ??k ?? N ? ??p nk fp x ?? f x k Et donc ??k ?? N ? ??p nk sup fp x ?? f x x ??X A k Ceci montre que la suite de fonctions fn converge vers f uniformément sur A C