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Corrige td2 ex1 2 Corrigé de la série N Intégrales dépendants d'un paramètre ENSA-ALHOCEIMA CP II Exercice ANALYSE SEMESTRE F MORADI a Calculons la limite de la suite ? Posons pour ?? ?? Il est clair que i la suite est une suite de fonctions continues sur

Corrigé de la série N Intégrales dépendants d'un paramètre ENSA-ALHOCEIMA CP II Exercice ANALYSE SEMESTRE F MORADI a Calculons la limite de la suite ? Posons pour ?? ?? Il est clair que i la suite est une suite de fonctions continues sur Et comme ?? ?? alors ii la suite converge simplement vers la fonction ?? morceaux iii De plus ?? ?? qui est une fonction continue par ?? ?? ? avec g est continue et intégrable sur Donc d'après i ii iii et le théorème de convergence dominée on déduit que ? ? b Calculons la limite de la suite ? Posons ?? ?? ? ?? ?? On a i la suite est une suite de fonctions continues sur ? ii la suite converge simplement vers la fonction ?? qui est une fonction continue par morceaux sur ? CCorrigé de la série N Intégrales dépendants d'un paramètre iii De plus ?? ?? ? ?? ?? ? avec g est continue et intégrable sur ? Donc d'après i ii iii et le théorème de convergence dominée on déduit que ? ?? ?? c Calculons la limite de la suite ? Posons ?? ? ?? On a i la suite est une suite de fonctions continues sur ? ii la suite converge simplement vers la fonction ?? ?? ?? ?? qui est une fonction continue par morceaux sur ? ? ?? ?? iii Pour la condition de domination on écrit telles que ? et ? avec est une constante à déterminer On sait que ? donc pour ?? ? ?? ? ? Par suite ?? ? ?? ?? ? avec est continue et intégrable sur ? De plus ?? ?? ?? ?? ? ? avec est continue et intégrable sur ? puisque ? ?? Donc d'après i ii iii et le théorème de convergence dominée on déduit que CCorrigé de la série N Intégrales dépendants d'un paramètre ? ? et ? ? Finalement ? d Calculons la limite de ? En utilisant le changement de variables et ? ? ? ? on obtient Par suite ? Posons ?? ?? ? ?? ?? ? On a i la suite est une suite de fonctions continues sur ? ii la suite converge simplement vers la fonction qui est une fonction continue sur ? iii De plus ?? ?? ? ?? ?? ? ? avec g est continue et intégrable sur ? Donc d'après i ii iii et le théorème de convergence dominée on déduit que ? e Calculons la limite de ? Comme précédemment en utilisant le changement de variables on obtient Avec est la fonction indicatrice de dé ?nie par ?? Posons ?? ?? ? ?? ?? ? On a i la suite est une suite de fonctions continues sur ? CCorrigé de la série N Intégrales dépendants d'un paramètre ii la suite converge simplement vers la fonction qui est une fonction continue sur ? car ? iii De plus ?? ?? ? ?? ?? ? ? avec h est continue