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Cours integrale de riemann

IUT Orsay Mesures Physiques Cours du er semestre Intégrale de Riemann Bernhard RIEMANN - Allemagne Non satisfait de la théorie de l ? intégration de Cauchy portant sur les fonctions continues qui lui para? t insu ?sante pour manipuler certaines séries de Fourier pour des fonctions peu ? régulières il publie une rigoureuse théorie de l'intégration pour les fonctions bornées continues ou non sur un intervalle fermé D ? autres théories de l ? intégration ont vu le jour plus tard intégrale de Stiltjes intégrale de Lebesgue ? mais nous n ? en parlerons pas ici On sait depuis Mercator - et Leibniz - que si une fonction est positive l'intégrale de cette fonction sur un intervalle a b évalue l'aire sous la courbe ? L ? idée de Riemann a été de repartir de cette évaluation de l ? aire en montrant qu ? elle pouvait se faire même pour des fonctions non continues ? et qui donc ne possèdent pas de primitive A Présentation et dé ?nition A-I Approximation d ? une aire On suppose pour commencer qu ? une fonction f pas trop irrégulière ? véri ?e f x ? pour tout x de l ? intervalle a b On note C f sa représentation graphique et on appelle S la surface décrite par F F F F a ? x ? b F F ? y ? f x On place entre a et b des réels x x xn tels que a x x x xn b Dans chaque intervalle de la forme xk ?? xk on choisit un réel hk au hasard et on pose yk f hk On appelle alors Rk le rectangle de base xk ?? xk et de hauteur yk Les rectangles Rk recouvrent approximativement la surface S et on comprend bien que plus les largeurs des rectangles Rk sont petites plus l ? approximation est bonne ? Pour énoncer la condition les largeurs des rectangles Rk tendent vers ? on dé ?nit ? x comme étant le maximum des largeurs ? x max k n xk ?? xk ?? et on impose la condition ? x ? ? n Riemann pose alors Sn yk xk ?? xk ?? et démontre que k Si lim ? x ? Sn L alors L ne dépend pas du choix des x x xn ni des hk Page C ? b Notation Dans le cas o? lim ? x ? Sn L on note L sous la forme f x dx qui se lit somme a entre a et b de tous les f x dx ? c ? est à dire somme de toutes les aires des rectangles de largeur in ?nitésimale que l ? on peut trouver en partageant l ? intervalle a b ? Dans cette notation on confond dx avec ? x mais on démontre et nous admettons que cette confusion n ? est pas nuisible Remarques Dans la construction de Riemann rien n ? oblige la fonction à être