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Cours probabilites a densite mathematiques baccalaureat serie s

CSavoir SAVOIR A Rappels utiles Epreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues succés ? avec une probabilité p échec ? avec une probabilité ?? ?? p ?? Schéma de Bernoulli Un schéma de Bernoulli est une succession d ? épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes les unes des autres Notons que les tirages se font avec remise La loi binomiale La loi binomiale découle d ? un schéma de Bernoulli Dans ces conditions la probabilité d ? obtenir ? ? succés sur n ? épreuves indépendantes ou avec remise est P ??X ? ?? ? n ? ?? ? ? p ? ?? ?? p ??n ?? ? Notons que ? n ? ?? ? ? ----------n--- ----------- ? ??n ?? ? ?? les n épreuves sont indépendantes elles comportent chacune deux issues succés échec et sont identiques ? sur la loi binomiale a Notation Soit X une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres n et p ? CSavoir On note X B ??n p ?? cad X B ?? ? ?? b Espérance et variance Soit X B ??n p ?? E ??X ?? n p et V ??X ?? n p ?? ?? p ?? B Variable aléatoire continue Dé ?nition Une variable aléatoire continue X est une fonction qui à chaque issue d ? une expé- rience associe un nombre réel d ? un intervalle I de ? ou ? tout entier Remarque En continue ? et ?? ou ? et ? c ? est la même chose Ainsi l ? événement la ? variable aléatoire X est comprise entre a et b ??a ? b ? ? ?? ? s ? écrit a ?X ?b ou a ?? X ?? b ou a ? X ?? b ou a ?? X ? b ? De plus P ??a ? X ? b ?? P ??a ?? X ?? b ?? P ??a ? X ?? b ?? P ??a ?? X ? b ?? ? Remarque En continu P ??X ? ?? always C Densité de probabilité Dé ?nition Une densité de probabilité sur ??a ? b ? est une fonction f dé ?nie continue positive sur b ?? ??a ? b ? et telle que f ??x ??dx a CSavoir Traduction f est une densité de probabilité sur ??a ? b ? ssi a f est continue par morceaux ce sera toujours le cas juste le dire b ?? b f ??x ??dx a c ? x ? ? ? f ??x ?? ? Exemple Soit la fonction f dé ?nie sur ?? ? ? par f ??x ?? x Montrons que f est une densité de probabilité f ??x ?? x ? x ? ?? ? ? peut s ? écrire f ??x ?? ? ?? x si x ? ?? ? ? ? sinon a Ici f est continue par morceaux ?? ?? b f ??x ??dx x dx ??