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Coursmpsi proba Lycée Louis-Le-Grand Paris Année Cours de mathématiques Partie IV ?? Probabilités MPSI Alain TROESCH Version du mai C CTable des matières Dénombrement I Combinatoire des ensembles ?nis II Combinatoire des ensembles d ? applications II Appl

Lycée Louis-Le-Grand Paris Année Cours de mathématiques Partie IV ?? Probabilités MPSI Alain TROESCH Version du mai C CTable des matières Dénombrement I Combinatoire des ensembles ?nis II Combinatoire des ensembles d ? applications II Applications quelconques p-listes II Lemme du berger II Injections p-listes d ? éléments distincts II Surjections III Combinatoire des sous-ensembles IV Bijection Déesse de la Combinatoire V Tirages les quatre modèles fondamentaux VI Pourquoi la combinatoire VI Compter calculer des probabilités VI Établir des égalités Espaces probabilisés I Espaces probabilisables I Notion d ? expérience aléatoire II ?-algèbres d ? événements ou tribus III Espaces probabilisés III Mesures de probabilité III Probabilités uniformes sur un univers ?ni III Ensembles négligeables IV Conditionnement et indépendance IV Probabilités conditionnelles IV Indépendance V Les trois théorèmes fondamentaux du calcul des probabilités V Formule des probabilités totales V Formule des probabilités composées V Formules de Bayes VI Principes généraux du calcul des probabilités Variables aléatoires I Aléas et variables aléatoires I Dé ?nitions I Loi d ? une variable aléatoire C Table des matières I La variable f X I Variables aléatoires discrètes I Loi de probabilité d ? une variable aléatoire discrète II Moments d ? une v a r d II Espérance mathématique II Variance dispersion II Moments d ? ordre k II Espérance et variance conditionnelle III Lois discrètes classiques III Loi uniforme III Loi de Bernoulli III Loi binomiale ?? nombre de succès III Loi géométrique ?? temps d ? attente du premier succès IV Loi de Poisson IV Tableau récapitulatif V Inégalités et convergences V Convergence en probabilités V Inégalités en probabilités V Loi faible des grands nombres Vecteurs aléatoires I Loi d ? un vecteur aléatoire I Vecteur aléatoire I Loi conjointe lois marginales I Loi d ? un vecteur aléatoire I Lois conditionnelles II Indépendance de variables aléatoires II Couples de variables aléatoires indépendantes II Familles de v a r indépendantes II Fonctions de variables indépendantes III Étude de g X Xn III La variable g X Xn III Loi et espérance de Z g X Xn III Exemples Espérance de X Y de XY III Covariance variance d ? une somme III Matrice des variances-covariances IV Stabilité des lois classiques C Dénombrement Le dénombrement est à la base d ? un grand nombre de calculs de probabilités notamment dans une situation d ? équiprobabilité dans ce cas en e ?et de façon assez intuitive la probabilité d ? un événement est le rapport entre le nombre d ? issues favorables et le nombre total d ? issues possibles Même dans des situations plus complexes les dénombrements élémentaires gardent une place centrale Pour cette raison le dénombrement semble trouver sa place naturelle au début d ? un cours de probabilité même si ses applications sont beaucoup plus diverses dans l ? ensemble des mathématiques I Combinatoire des ensembles ?nis Comme nous l ? avons déjà dé ?ni dans les fondements le cardinal d ? un ensemble ?ni correspond de façon intuitive à