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Ds11 serie Lycée Marceau MPSI Le lundi juin Devoir surveillé no heures Ce devoir est constitué de plusieurs exercices L'ordre des exercices ne E correspond à aucun critère de di culté ou de longueur vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez Vei

Lycée Marceau MPSI Le lundi juin Devoir surveillé no heures Ce devoir est constitué de plusieurs exercices L'ordre des exercices ne E correspond à aucun critère de di culté ou de longueur vous pouvez les traiter dans l'ordre que vous voulez Veillez à soigner la copie tant pour l'écriture la propreté que pour la rédaction la rigueur et l'argumentation On La rappelle que la calculatrice est série interdite uVnopuesuntuamuésrsoi têetrreezavpopselcéoepliaesséertiefedreeztaerpmpaergaé? tnréeracllauirnem ent sur la première page le nombre de copies EXERCICE I Convergence d'une série C On considère la suite un n ??N dé nie par u et pour tout n ?? N un n n un a Montrer que la suite un n ??N converge On note sa limite b Montrer que la série de terme général ln un ?? ln un est une série divergente ? c En déduire la valeur de Soit ?? R Pour n ?? N ? on pose vn n un n un a Montrer que ln vn n ?? n ?? n b Déterminer alors pour que la série de terme général ln vn converge On note S la somme de cette série a Montrer que un ?? eS u n b En déduire que la série un converge c Montrer à l'aide de changements d'indice dans les sommes de gauche que pour tout n ?? N n n n n k uk uk k uk uk k k k k ? d Obtenir alors la somme un n EXERCICE II Calculs de déterminants On note A ai j i j n o? ai j max i j Calculer det A a Calculer Calculer b On pose Dn déterminant de la matrice n n ayant des sur la diagonale juste en dessou s et just e au dess us i A l'aide de développements selon des rangées exprimer Dn en fonction de Dn et Dn ii En déduire Dn en fonction de n de D et D puis en fonction de n seulement CLycée Marceau MPSI Le lundi juin EXERCICE III Réduction d'une matrice On note f l'endomorphisme de R F EB F F dont la matrice dans la base canonique B e e e est ?? A F ED F F ?? ?? ?? a Déterminer et factoriser le polynôme caractéristique ? C A de A dé ni par ?A x det xI ?? A b Montrer que A possède une et une seule valeur propre dans C que l'on notera a c La matrice A est-elle inversible d Déterminer une base du sous-espace propre associé à la valeur propre a On pose u e u f ?? aIdR e u e e et C u u C u a Montrer que C est une base de R et véri er que u et u sont des vecteurs propres de f b Ecrire la matrice T de f dans la base C c On note P la matrice de passage de la base B à la base C Déterminer P ?? d