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Examen M examen dur ?ee h Toutes les r ?eponses doivent etre justi ? ?ees exercice points Discuter la convergence ou la convergence absolue des s ?eries num ?eriques et int ?egrales g ?en ?eralis ?ees suivantes a ? ?? n n ? sin n n b ? ? sin t dt ? ? cos

M examen dur ?ee h Toutes les r ?eponses doivent etre justi ? ?ees exercice points Discuter la convergence ou la convergence absolue des s ?eries num ?eriques et int ?egrales g ?en ?eralis ?ees suivantes a ? ?? n n ? sin n n b ? ? sin t dt ? ? cos t t dt exercice points Soit fn ? ? R donn ?ee par fn x nx n x pour n ? a Montrer que la suite de fonctions fn converge simplement sur ? vers une fonction f qu ? on d ?eterminera b On ?xe n Calculer le maximum de la fonction fn sur ? c La suite de fonctions fn converge-t-elle vers f uniform ?ement sur ? d La suite de fonctions fn converge-t-elle vers f uniform ?ement sur ? exercice points Soit f R ? R la fonction ?-p ?eriodique d ?e ?nie sur ?? ? ? par f x pour x dans ?? ? ?? ? ou ? ? et f x pour x dans ?? ? ? a Dessiner le graphe de f sur plusieurs p ?eriodes b La fonction f est-elle paire impaire ou ni paire ni impaire c Calculer les coe ?cients de Fourier r ?eels a f puis an f et bn f pour n ? d En d ?eduire le calcul de ? ? p ?? p p C