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Exercices nombres reels UNIVERSITE PARIS ?? DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES ?? NOMBRES REELS I Préambule L ? histoire des nombres réels remonte à l ? antiquité grecque A cette époque seuls les entiers positifs ont le statut de nombre

UNIVERSITE PARIS ?? DENIS DIDEROT UFR DE MATHEMATIQUES PREPARATION CAPES ?? NOMBRES REELS I Préambule L ? histoire des nombres réels remonte à l ? antiquité grecque A cette époque seuls les entiers positifs ont le statut de nombre et une théorie des grandeurs permet de gérer le continu Cette théorie élaborée par Eudoxe au Vème siècle avant J C et reprise dans le livre V des Eléments d ? Euclide permet de comparer et additionner des grandeurs de comparer et multiplier des rapports de grandeurs de même nature L ? uni ?cation du domaine numérique sera longue et di ?cile Ce n ? est qu ? à la ?n du XIXème siècle avec l ? arithmétisation de l ? analyse ? que seront élaborées des constructions du corps des réels à partir des entiers et des rationnels Dans les deux paragraphes suivants sont présentées très brièvement deux d ? entre elles celle par les coupures de Dedekind et celle par les suites de Cauchy proposées par Heine et Cantor pour plus de détails et en particulier les preuves que l ? on obtient bien un corps satisfaisant la propriété de la borne supérieure ?? voir plus loin la dé ?nition axiomatique ?? on pourra se référer à II Construction par les coupures de Dedekind Une coupure est une partition du corps Q des rationnels en deux parties non vides A et B satisfaisant les conditions suivantes Tout élément de A est inférieur à tout élément de B B n ? a pas de plus petit élément L ? ensemble des réels R est alors dé ?ni comme l ? ensemble des coupures On dé ?nit sur cet ensemble une relation d ? ordre en posant A B ? C D ssi A ? C De même on dé ?nit une addition et une multiplication en posant A B C D E F avec E s s ? s ??A et s ? ??C Si A B ? et C D ? A B x C D E F avec E s s ? s ??A et s ? ??C On étend ensuite la multiplication à des réels de signe quelconque via la règle des signes Exercice Montrer que R ainsi dé ?ni est un ensemble totalement ordonné véri ?ant la propriété de la borne supérieure Exercice Montrer que Q peut être plongé dans R que l ? ordre et les opérations dé ?nis cidessus prolongent bien l ? ordre et les opérations sur les rationnels III Construction par les suites de Cauchy On considère l ? ensemble S des suites de Cauchy de nombres rationnels muni des opérations d ? addition et de multiplication usuelles et on dé ?nit sur cet ensemble la relation d ? équivalence suivante C un ?? vn ssi limn ? ? un-vn R est alors dé ?ni comme le quotient de S par cette relation d ? équivalence Exercice Montrer que Q peut être plongé dans R ainsi dé ?ni et que R contient