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F0176 annexe rappel mathematiques

Annexe générale Rappels mathématiquesDérivées et di ?érentielles Notion de dérivée d ? une fonction La notion de dérivée d ? une fonction revêt une très grande importance en mathématiques ses applications sont nombreuses au sein de toutes les sciences à connotation quantitative auxquelles la mathématique ?nancière appartient Nous allons présenter simplement le concept d ? abord graphiquement et ensuite mathématiquement Nous donnerons ensuite quelques exemples numériques La notion de dérivée d ? une fonction en un point A x f x est associée à la variation instantanée de cette fonction en ce point Admettons que nous soyons en présence d ? une fonction y f x et observons la variation de cette fonction notée f x Dx ?? f x consécutive à une variation Dx de la variable indépendante x au point x Lorsque x varie de Dx la fonction f x varie de f x Dx ?? f x Si on e ?ectue le rapport entre la variation de f x segment BC et la variation de x segment AB on obtient naturellement la variation moyenne de f x sur un espace Dx Cette variation moyenne notée VM s ? exprime par la relation A VM f x ? x ?? f x BC ? x AB A Figure A - Interprétation géométrique de la dérivée de f x au point x f x D f x ? x f x C A B ? x x x ? x x Mathématiques ?nancières On souhaite obtenir non pas la variation moyenne de la fonction sur un espace Dx mais la variation instantanée de la fonction f x au point x À cette ?n il su ?t de faire tendre Dx vers Or faire tendre Dx vers consiste à opérer une rotation de la droite AC autour du point A dans le sens inverse des aiguilles d ? une montre Le segment de droite AC devient donc la tangente AD à la fonction f x au point A On peut dé ?nir ainsi le nombre dérivé de la fonction f x au point x comme la limite de la relation A lorsque Dx tend vers En d ? autres termes le nombre dérivé de f x au point x noté f ? x représente la variation instantanée de la fonction f x au point x Mathématiquement on peut exprimer f ? x par la relation A f ' x Lim ? x ? f x ? x ?? ? x f x DB AB tg A À l ? examen de la ?gure A et de la relation A on observe immédiatement que le nombre dérivé de la fonction f x au point x n ? est rien d ? autre que la tangente de l ? angle a formé par les segments de droite AD et AB c ? est-à-dire l ? angle formé par la parallèle à l ? axe des x au point x f x et la droite tangente à la fonction en ce point x