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Introduction aux series divergentes

Introduction aux séries divergentesQue fait la somme des entiers naturels Histoire des séries divergentes Procédés sommatoires Théorèmes généraux Le prolongement analytique Séries asymptotiques Pierre-Jean Hormière The series is divergent therefore we may be able to do something with it ? O Heaviside Ne vous inquiétez pas ça converge ? H Minkowski Que fait la somme des entiers naturels Ramanujan lettre à Hardy février Dans un exposé très vivant sur youtube l ? excellent Beno? t Rittaud rend hommage au mathématicien indien Srinivasa Ramanujan - et entreprend de démontrer ? l ? identité trouvée par ce dernier en C ? ? ?? Multiplions en e ?et C par et soustrayons C ? ?? C ?? ?? ?? ?? Reste à calculer cette dernière somme Pour cela recopions-la fois en la décalant et additionnons terme à terme S ?? ?? ?? ?? ?? ? S ?? ?? ?? ?? ? S ?? ?? ?? ?? ? S ?? ?? ?? ?? ? S ? Une série est divergente donc nous pouvons faire quelque chose avec elle On raconte qu ? un jour se promenant dans la rue principale de G? ttingen Minkowski croisa un jeune homme plongé dans ses pensées Il lui tapa gentiment sur l ? épaule et ?t cette ré exion ? sur quoi le jeune homme s ? éloigna rassuré ? S ? è non è vero è ben trovato CEn conclusion S et en reportant C ?? CQFD Il est clair que ce résultat est paradoxal On peut bien sûr le rejeter d ? un haussement d ? épaules Mais si l ? on accepte ce que Beno? t Rittaud nomme très joliment une suspension consentie de l ? incrédulité ? la question n ? est pas de savoir s ? il est vrai ou faux mais en quel sens peut-on le considérer comme vrai Car sans le savoir Ramanujan l ? autodidacte mettait ses pas dans ceux de quelques prédécesseurs Leibniz Euler Lacroix Lagrange Stieltjes et ajoutait un petit caillou dans le jardin de la curieuse théorie des séries divergentes que je vais t? cher de raconter Histoire des séries divergentes Les sommes in ?nies La manipulation de sommes in ?nies a commencé dès l ? antiquité Ainsi le paradoxe de Zénon s ? appuie sur la formule ? pour en induire l ? impossibilité du mouvement Reprise au XVIIème siècle par Leibniz et Newton la théorie de séries fut systématiquement explorée au siècle suivant par Leonhard Euler - et ses successeurs Lagrange Laplace Lacroix etc Sans se préoccuper de convergence ou de divergence notions alors mal dé ?nies mais avec un sens mathématique très sûr ces mathématiciens obtinrent au moyen de techniques ingénieuses mais peu rigoureuses une foule d ? identités En voici quelques-unes La série S ?? ?? ?? considérée par Leibniz Jacques Bernoulli Euler et Lacroix est divergente au sens de Cauchy car ses sommes partielles valent alternativement et Du reste son terme général ne tend pas vers Pourtant Leibniz lui attribue la somme