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Hlma502 1819 cc1 rattrapage

AL nn éeM a t h-é m a t iques HLMA Topologie Contrôle continu décembre durée h N B Documents calculatrices téléphones portables interdits La qualité de la rédaction et de la présentation sera prise en compte dans la notation Les exercices sont indépendants Le barème est indicatif Partie Démonstrations de cours o? Ne tBc oEmnmietanltiqcueessc oncsoingsniegsnessonptouutrilliaséreésd action des démonstrations Bien faire appara? tre qEuxeelreciccoemp l ém e ntpaoirientd eSolait b Xou lde fuernmeésepaDce am ért riqeuste uentesopiaenrttiea o ??uvXerteet rde X Montrer Utiliser C uniquement les propriétés d'une distance et la dé nition des ouverts d'un espace métrique Edex Xe r MSdcOaoiocnnienesntmXrt euar neqi ??ttu BAeA sAideptUeloarilnaeb stodtsu i usl etnSaMdoo C Montrer la réciproque de la propriété de la question Utiliser la dé nition des ouverts d'un espace métrique C sE'ixl eesrtc icnei point Montrer qu'un espace métrique discret est C compact si et seulement Utiliser la dé nition de la compacité uniquement en termes de recouvrements ouverts Exercice points Montrer qu'un espace métrique compact est borné Pas de consigne particulière mEéxterirqcuiecse a ve c X cpoominptasc t SMoiotnftre r Xque ?f Y X uneest aupnpelicpaatritoien ccoomntpiancutee ednetrYe deux espaces Pas de consigne particulière Bien faire appara? tre le rôle de la continuité CPartie Exercices vEidxeesrdceicXe M on t reprol'iénqtus ivaSloeintc eX d un espace métrique et soient A B deux parties non ?? x ?? X d x A d x B ? ?? A B laEapxptoelipcraoctlioicogenie Op rnodn u oittep o ?in ts Sxo iyen t ??XXe? t Y Y deux y efs pxa c eslemgératrpiqhueedse eft sOonit mf u nXit X ?? YYudnee Montrer que si f est continue alors ? est fermé dans X ? Y Montrer que si ? est fermé dans X ? Y et si Y est compact alors f est continue EPoxuerrrc ice o n pose points Soient X d un espace métrique et A une partie compacte de X Kr ??a ??AD a r o? D a r désigne la boule fermée de centre a et de rayon r Montrer que Kr est une partie fermée de X On peut utiliser la caractérisation séquen- tielle de partie fermée Opanctseu pMpoosnetrdeer qpulu'salqoruse Kp o u recsthacqoumeppaoctin tOxn ?? X peut la boule fermée D x est com- utiliser la compacité séquentielle C