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Laplace Transformée de Laplace par J Monnier professeur INSA Toulouse Jerome Monnier insa-toulouse fr Janvier Résumé Introduction à la transformée de Laplace et son utilisation pour résoudre des Equations Di ?érentielles Ordinaires linéaires EDO d ? ordre

Transformée de Laplace par J Monnier professeur INSA Toulouse Jerome Monnier insa-toulouse fr Janvier Résumé Introduction à la transformée de Laplace et son utilisation pour résoudre des Equations Di ?érentielles Ordinaires linéaires EDO d ? ordre n Public visé étudiants professionnels en formation continue cycle préparatoire de notre école d ? ingénieur INSA Table des matières Introduction Dé ?nitions fondamentaux Dé ?nition de cette transformée de Laplace L Conditions d ? existence de cette transformée de fonction Propriétés fondamentales de L Linéarité Opérateur inverse L Dérivation Translations et changements d ? échelles Transformée d ? un produit de convolution Images de fonctions usuelles Résolution d ? EDO linéaires par la transformée de Laplace Exemple une EDO linéaire d ? ordre très simple Cas général EDO linéaire d ? ordre n CPierre-Simon Laplace - est un mathématicien astronome physicien et homme politique français contemporain de la période napoléonienne Il a apporté des contributions fondamentales dans di ?érents champs de la théorie des probabilité des mathématiques et de l ? astronomie Introduction Soit f une fonction de R à valeurs dans C voire n C donc aussi potentiellement dans n R ou R La transformée de Laplace de f x notée L f x est un opérateur intégral conduisant à une nouvelle fonction de p p la variable duale p indépendante de x On note la transformée F p L f x F p L f x p Cette transformation mathématique fut introduite par P -S Laplace dans un cadre théorique de probabilités La transformée de Laplace a la particularité de transformer très simplement la dérivée de la fonction originale f En e ?et on a L f x p pF p ?? Cette propriété permet un traitement simple des Equations Di ?érentielles Ordinaires linéaires EDO d ? ordre n avec n possible Il su ?t de transposer l ? équation di ?érentielle dans le domaine de Laplace pour obtenir une équation algébrique relativement simple à manipuler et résoudre Pour revenir dans l ? espace original e g temporel contrairement à la transformée de Fourier nous ne disposons pas d ? expression explicite simple de la transformée inverse L Mais comme L est injective par le calcul et l ? usage de tables il est possible d ? inverser les images obtenues En fait la transformée inverse L est une intégrale dans le plan complexe qui n ? est en pratique pas utilisée Du fait de ces propriétés la transformée de Laplace est utilisée en automatique et asservissement pour déterminer la fonction de transfert d ? un système linéaire Contrairement à la transformée de Fourier F qui est utilisée pour la détermination du spectre d ? un signal f L tient compte de l ? existence du régime transitoire précédant le régime permanent Par exemple la prise en compte de l ? allure du signal avant et après la mise en marche d ? un générateur de fréquence Parmi les pré-requis à ce cours ?gurent les intégrales généralisées et la décomposition en