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Capes externe 2022 epreuve 1

Capes de mathématique épreuve Capes de mathématique épreuve Lien vers le corrigé seul pdf Lien vers le sujet seul pdf Durée heures L'usage de la calculatrice est autorisé dans les conditions relevant de la circulaire du juin BOEN du juillet L'usage de tout ouvrage de référence de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants Problème no vrai-faux Pour chacune des assertions suivantes préciser si C elle est vraie ou fausse puis justi er la réponse donnée I Ensembles de nombres Tout entier relatif non nul possède un inverse dans Z pour la multiplication L'assertion est fausse E Il s'agit de démontrer qu'une propriété universelle est fausse il su t d'exhiber un contre-exemple L'inverse de n'est pas un entier fraction irréductible La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal L'assertion est vraie Il faut ici démontrer que la propriété universelle est vraie Donc dans tous les cas Soient x et y deux nombres décimaux Il existe donc a b ?? Z et n m ?? N tels que x a n et y b m Donc - - CCapes de mathématique épreuve ab x y n m a ? m b ? n n ? m a ? m b ? n n m Comme a ? m b ? n ?? Z et n m ?? N x y est bien décimal est un nombre décimal L'assertion est fausse Démontrons que n'est pas décimal en raisonnant par l'absurde Supposons que est décimal Autrement dit ?? a n ?? Z ? N a n Nous en déduisons produit en croix n a Or les diviseurs premiers de sont et donc n n'est pas divisible par ce qui est contradictoire avec la précédente égalité Nous avons démontré par l'absurde que n'est pas décimal est un nombre irrationnel L'assertion est vraie Démontrons en raisonnant par l'absurde que est irrationnel Supposons que ?? Q Autrement dit il existe a et b des entiers naturels premiers entre eux tels que a b - - CCapes de mathématique épreuve C Nous en déduisons b a Donc ??a et en n ??a Ainsi ??a ?? ?? N a a ?? Donc b a ?? b a ?? Puis ??b et donc ??b Chemin faisant nous avons établi que a et b sont divisibles par Ceci contredit le fait que a et b aient été choisis premiers entre eux Nous avons démontré par l'absurde que est irrationnel Pour tout n dans N n est un nombre irrationnel L'assertion est fausse B En e et ?? R Q La somme de deux nombres irrationnels est un nombre irrationnel L'assertion est fausse B En e et et ?? sont irrationnels et pourtant ?? ?? Q La somme d'un rationnel et d'un nombre irrationnel est un nombre irration- nel L'assertion est vraie Soient x ?? Q et y ?? R Q Démontrons que x y est irrationnel en raisonnant par l'absurde Supposons que x y ?? Q