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Eni concours 2011 Durée heure Épreuves communes ENI ??GEIPI ??POLYTECH mai Nous vous conseillons de répartir équitablement les heures d ? épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est

Durée heure Épreuves communes ENI ??GEIPI ??POLYTECH mai Nous vous conseillons de répartir équitablement les heures d ? épreuves entre les sujets de mathématiques et de physique-chimie La durée conseillée de ce sujet de mathématiques est de h L ? usage d ? une calculatrice est autorisé Tout échange de calculatrices entre candidats pour quelque raison que ce soit est interdit Aucun document n ? est autorisé L ? usage du téléphone est interdit Vous ne devez traiter que exercices sur les proposés Chaque exercice est noté sur points Le sujet est donc noté sur points Si vous traitez les exercices seules seront retenues les meilleures notes EXERCICE I On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal O ? ??u ? ?? v di- rect Soient les points A et B d ? af ?xes respectives zA zB ?? i Pour tout complexe z on pose z ?? iz ?? i On considère la fonction F qui à tout point M d ? af ?xe z associe le point M ?? d ? af ?xe z ?? Placer A et B sur une ?gure que l ? on complètera au fur et à mesure de l ? exercice Dans cette question on considère un point M di ?érent de A donc d ? af ?xe z a Déterminer le complexe Z z ?? z ?? ?? b Déterminer le module Z et un argument arg Z de Z c Exprimer AM ?? en fonction de AM Déterminer l ? angle A ?? ??M ? ??A ??M ?? ? ?? d En déduire la nature de la fonction F On précisera tous ses éléments caractéristiques Déterminer les af ?xes zA ?? et zB ?? des images A ?? et B ?? par F des points A et B Soit C le point dont l ? image par la fonction F est le point C ?? d ? af ?xe ZC ?? ?? ?? i Déterminer l ? af ?xe zC du point C Justi ?er le calcul Dessiner les triangles ABC ?? et ACB ?? sur la ?gure du On désigne par I le milieu du segment BC ?? a Déterminer l ? af ?xe zI du point I Dans le triangle ABC ?? tracer la médiane D issue de A b Déterminer les af ?xes des vecteurs A ?? ?I et ?? ?? ? CB ?? c Déterminer la position relative des droites AI et CB ?? On justi ?era la réponse d Que représente la droite D pour le triangle ACB ?? On note D ?? l ? image de la droite AI par la fonction F Déterminer D ?? et tracer D ?? sur la ?gure CConcours GEIPI ??POLYTECH EXERCICE On considère la fonction f dé ?nie pour tout réel x par f x e x ?? ex Soit C la courbe représentant f dans un repère orthonormé O ? ?? F BE ? ?? a Déterminer lim f x Justi ?er la réponse x