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Examendlfim 2016 Institut Supérieur d ? Informatique et du Multimédia de Sfax ème LFIM Janvier Durée H mn Examen Probabilités et Statistique Session Principale Une grande importance sera attachée à la qualité de rédaction et au soin de la présentation Le

Institut Supérieur d ? Informatique et du Multimédia de Sfax ème LFIM Janvier Durée H mn Examen Probabilités et Statistique Session Principale Une grande importance sera attachée à la qualité de rédaction et au soin de la présentation Le sujet est composé de deux exercices et un problème Le problème est composé de trois parties qui peuvent être traiter indépendament mais il est conseillé de les traiter dans l ? ordre croissant Notons encore que toutes les calculatrices sont autorisées On donne les valeurs numériques suivantes ? ?? ? ?? t o? est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite N t est la fonction de répartition de la loi de Student de degré de liberté et ? est la fonction de répartition de la loi Khi de degré de liberté Exercice points Nous étudions l ? angle sous lequel des électrons sont émis lors d ? une désintégration du muon Le cosinus de l ? angle x cos peut être modéliser par une variable aléatoire X de densité de probabilité f x x ?? ? x ? sinon o? ?? ?? est une paramètre inconnue que l ? on veut estimer Dans la suite X désigne la moyenne d ? échantillon X Xn de la variable aléatoire X Véri ?er que f est bien une densitée de probabilité Montrer que l ? espérance et la variance de X sont données par E X V X ?? Montrer que U X est un estimateur sans biais de Déterminer l ? erreur d ? estimateur E U V U C ? est une particule élémentaire de charge négative mais avec une masse fois plus grande c ? est pourquoi on l ? appelle aussi électron lourd C Dix observations de X ont données les valeurs Donner une estimation de Exercice points Supposons que l ? erreur d ? arrondissement X lors d ? un calcul par ordinateur des racines carrées d ? une certaine gamme des nombres est une variable aléatoire de loi uniforme sur l ? intervalle ?? Nous nous intéressons à calculer la somme de racines carrées de cette gamme des nombres Soit X X les erreurs respectifs sur les nombres considérés X l ? erreur moyenne et T l ? erreur totale sur la somme des nombres Déterminer l ? espérance E X et la variance V X Exprimer T en fonction de X ?? Montrer que T suit approximativement la loi normale N Quelle est approximativement la probabilité pour que l ? erreur totale T soit plus petit que Problème points Sur le réseau internet la latence est le délai entre le moment o? une information est envoyée et celui o? elle est reçue On suppose que la latence peut être modélisée par une variable aléatoire normale de moyenne et d ? écart type ? les deux inconnus Les connexions internet sont parfois ralenties dû à la latence de transmission du réseau On souhaite quanti ?er cette latence ou plus précisément obtenir une estimation