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Lecon variablealeatoire 2020 21

VARIABLE ALÉATOIRE Connaissances ?? Variable aléatoire réelle modélisation du résultat numérique d ? une expérience aléatoire formalisation comme fonction dé ?nie sur l ? univers et à valeurs réelles ?? Loi d ? une variable aléatoire ?? Espérance variance écart type d ? une variable aléatoire I Variable aléatoire Dé ?nition ? L ? ensemble de toutes les issues de l ? expérience aléatoire est l ? univers des éventualités On le note souvent Exemple Pour les lancés d ? un dé ? Un événement de cette expérience est un sous- ensemble de l ? univers Exemple A obtenir un chi ?re impair ? Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue Exemple B obtenir le chi ?re Dé ?nition Soit un univers Une variable aléatoire est une fonction souvent notée X qui à chaque évènement élémentaire de associe un nombre réel Exemple Jeu avec deux dés non pipés à six faces Pour chaque chi ?re supérieur à on marque point pour chaque chi ?re on perd points Univers de l ? expérience aléatoire Nombre de points pour chaque évènement ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? On note X l ? application qui associe à chaque événement élémentaire de le nombre de point correspondant X Événement élémentaire ? Nombre de point s Ainsi X ?? II Loi de probabilité d ? une variable aléatoire Dé ?nition Si X est une variable aléatoire liée à une expérience aléatoire et si k est un nombre réel X k désigne l ? évènement contenant tous les évènements élémentaires associés au nombre k La probabilité de l ? évènement X k est notée p X k CExemple Pour l ? exemple précédent on constate que les valeurs possibles pour la variables aléatoire X sont ?? ?? ?? On note le note ainsi X ?? ?? ?? ?? A ces valeurs correspond un nombre d ? issues Par exemple Notation Évènement issues Nombre d ? issues X avoir un score nul X ?? avoir un score de ?? ? X ? Avoir un score inférieur à ?? ? X ? ?? Avoir un score entre ?? et ?? Les issues étant équiprobables on peut calculer la probabilité d ? obtention des di ?érents scores Ainsi p X p X ?? p X ? p ?? ? X ? ?? Dé ?nition La loi de probabilité d ? une variable aléatoire X est la fonction qui à chaque nombre réel k associe la probabilité de l ? évènement X k On la note souvent sous forme de tableau Exemple Avec le même exemple on peut établir la loi de probabilité suivante k ?? ?? ?? total p X k III Espérance et variance d ? une loi de probabilité Dé ?nition Soit la loi de probabilité d ? une variable aléatoire X donnée valeurs de X k k kn probabilité p X k p p pn On appelle ? Espérance de la variable X le nombre E X n