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Analyse numerique chap1 amp 2

CHAPITRE NOTIONS SUR LE CALCUL D ? ERREUR Introduction L ? analyse numérique est le domaine des mathématiques o? l ? on étudie des algorithmes pour la résolution numérique des problèmes de l ? analyse mathématique Lorsque l ? on ne peut pas résoudre un problème analytiquement on fait appel à l ? analyse numérique pour trouver une solution approchée Une partie importante de l ? analyse numérique consiste donc à contenir les e ?ets des erreurs introduites par les approximations Ces erreurs proviennent de trois sources principales Les erreurs de modélisation proviennent de l ? étape de mathématisation du phénomène physique auquel on s ? intéresse Les erreurs de représentation sur ordinateur ces erreurs sont liées à l ? utilisation de l ? ordinateur La représentation sur ordinateur généralement binaire des nombres introduit souvent des erreurs Les erreurs de troncature proviennent principalement de l ? utilisation du développement de Taylor qui permet par exemple de remplacer une équation di ?érentielle par une équation algébrique Dé ?nition Soit un nombre et une approximation de ce nombre L ? erreur absolue est dé ?nie par Dé ?nition Soit un nombre et une approximation de ce nombre L ? erreur relative est dé ?nie par En multipliant par on obtient l ? erreur relative en pourcentage En pratique il est di ?cile d ? évaluer les erreurs absolue et relative car on ne connait pas la valeur exacte de et on n ? a que Dans le cas de quantités mesurées dont ne connait que la valeur approximative il est impossible de calculer l ? erreur absolue on dispose en revanche d ? une borne supérieure pour cette erreur qui dépend de la précision des instruments de mesure utilisés Cette borne est appelée erreur absolue alors on a Ce qui peut également s ? écrire COn peut interpréter ce résultat en disant que l ? on a estimé la valeur exacte à partir de avec une incertitude de de part et d ? autre L ? erreur absolue donne une mesure quantitative de l ? erreur commise et l ? erreur relative en mesure l ? importance Par exemple si on fait usage d ? un chronomètre dont la précision est de l ? ordre du ème de seconde l ? erreur absolue est bornée par s Mais est-ce une erreur importante Dans le contexte d ? un marathon d ? une durée de h mn temps moyen l ? erreur relative liée au chronométrage est très faible et ne devrait pas avoir de conséquence sur le classement des coureurs Par contre s ? il s ? agit d ? une course de m d ? une durée d ? environ s temps moyen l ? erreur relative est beaucoup plus importante soit du temps de course Avec une telle on ne pourra vraisemblablement pas faire la di ?érence entre le premier et le deuxième coureur er coureur ème coureur CCHAPITRE INTERPOLATION Introduction Le problème est le suivant à partir d ?