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s3 loi binomiale echantillonnage

ère S - S ?? Chap Loi binomiale Échantillonnage ère S - Chapitre LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE Textes o ?ciels septembre CONTENUS Probabilités Épreuve de Bernoulli loi de Bernoulli CAPACITÉS ATTENDUES Schéma de Bernoulli loi binomiale loi du nombre de succès Reconna? tre des situations relevant de la loi binomiale Coe ?cients binomiaux triangle de Pascal Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale COMMENTAIRES La représentation à l ? aide d ? un arbre est privilégiée il s ? agit ici d ? installer une représentation mentale e ?cace On peut ainsi faciliter la découverte de la loi binomiale pour des petites valeurs de n n ? introduire le coe ?cient binomial n k comme nombre de chemins de l ? arbre réalisant k succès pour n répétitions établir en ?n la formule générale de la loi binomiale SGT du LP Léo Lagrange de Bully-Les-Mines Page C ère S - S ?? Chap Loi binomiale Échantillonnage ère S - Chapitre LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE I Épreuve de Bernouilli Dé ?nition Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues ? l'une que l'on nomme SUCCÈS ? que l'on note S et dont la probabilité d'apparition est p ? l'autre nommée ÉCHEC ? que l'on note S et dont la probabilité d'apparition est - p pS -p S Exemple Une urne contient boules rouges boules jaunes et boule bleue toutes indiscernables Avant de jouer on mise un euro On tire une boule au hasard et on obtient ?? euro si elle est rouge ?? euro si elle est jaune ?? euros si elle est bleue On peut donc dé ?nir comme SUCCÈS le fait de tirer la boule bleue Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli avec pour S tirer une boule bleue ? et pour S tirer une boule qui n'est pas bleue ? donc une boule rouge ou une jaune Dé ?nition Dans une épreuve de Bernoulli de paramètre p la variable aléatoire X prenant la valeur si S se produit et la valeur sinon suit la loi de k probabilité ci-contre Son espérance est E X p sa variance est V X p p P X k - p p On dit alors que X est une variable de Bernoulli de paramètre p ou encore que X suit la loi de Bernoulli de paramètre p Exemple Dans l'exemple précédent l'épreuve de Bernoulli a pour loi de paramètre p Donc la loi de Bernoulli de paramètre p est dé ?nie par le tableau suivant Issue S S Probabilité II Schéma de Bernoulli Dé ?nition Un schéma de Bernoulli est la répétition d'une même épreuve de Bernoulli dans des conditions d'indépendance c'est-à-dire que l'issue d'une épreuve n'in ue pas sur les autres Exemple On reprend l'exemple du paragraphe et après avoir tiré une boule on la replace dans l'urne avant d'en choisir une seconde On répète alors plusieurs fois cette expérience Le fait de replacer la boule dans l'urne assure l'indépendance entre deux tirages Le schéma de