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F0176 annexes chapitre 12 Annexes du chapitre Annexe Le paradoxe de Saint-Pétersbourg Nous présentons un jeu appelé le jeu de Saint-Pétersbourg ? avec l ? objectif de nous permettre de comprendre notre comportement face au risque Ce jeu nous conduit à app

Annexes du chapitre Annexe Le paradoxe de Saint-Pétersbourg Nous présentons un jeu appelé le jeu de Saint-Pétersbourg ? avec l ? objectif de nous permettre de comprendre notre comportement face au risque Ce jeu nous conduit à appréhender le paradoxe existant entre la rationalité dont on se réclame et l ? émotivité avec laquelle on agit Ce jeu fut présenté par Nicolas Bernoulli en à Saint-Pétersbourg raison pour laquelle ce jeu est connu sous le nom de paradoxe de Saint-Pétersbourg ? C ? est en soit ans plus tard que Daniel Bernoulli en proposa une solution Admettons qu ? il vous soit proposé le jeu consistant à lancer une pièce de monnaie non pipée autant de fois que cette dernière tombe sur face Ce jeu peut se poursuivre indé ?niment tant que face appara? t Si pour la première fois la pièce tombe sur pile au n-ième lancer le jeu s ? arrête et vous recevez un montant égal à n ?? À l ? examen de ce jeu il est évident que le montant que vous pouvez gagner est soit nul si la pièce tombe au premier lancer sur pile soit positif si la pièce tombe sur pile au n-ième lancer Il est donc naturel que la personne qui vous propose ce jeu vous demande une contribution ou une mise de départ de manière certaine pour qu ? elle accepte également de participer au jeu Le problème devant lequel vous vous trouvez est d ? évaluer l ? espérance de gain de ce jeu et de miser un montant qui rend ce jeu économiquement équilibré entre vous-même et la personne qui vous le propose ? Si la pièce tombe sur face au premier lancer vous gagnez ? Si la pièce tombe consécutivement sur face au deuxième lancer vous gagnez ? ? Si la pièce tombe consécutivement sur face au troisième lancer vous gagnez ? ? À titre d ? exemple si la pièce tombe pour la première fois sur pile au e lancer vous gagnez soit un montant de Il faut se rappeler que tant que la pièce tombe sur face le jeu se poursuit On comprend immédiatement que le gain possible lorsque vous participez à ce jeu peut être gigantesque Combien êtes-vous prêt à miser pour participer à ce jeu Pour répondre à cette question l ? homme rationnel calculera l ? espérance mathématique de gain de ce jeu et misera pour avoir accès à ce jeu la valeur de l ? espérance de gain a ?n que le jeu soit économiquement équilibré pour les deux parties Mathématiques ?nancières Calculons donc cette espérance mathématique de gain Si on désigne par x la valeur de la variable aléatoire nombre de faces ? et par Dx son domaine de dé ?nition on obtient E gain ? x Prob X x Dx F EB F EDF EC F F F F F F F EB F ECF ED F F F F F F F EB F ECF ED F F