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Proba spring 16 17 td1 Feuille d ? exerices Variables aléatoires discrètes et Lois usuelles discrètes Mohamad Ghassany Variables Aléatoires Exercice Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l ? ensemble ?? et dont la distribution est donné

Feuille d ? exerices Variables aléatoires discrètes et Lois usuelles discrètes Mohamad Ghassany Variables Aléatoires Exercice Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l ? ensemble ?? et dont la distribution est donnée par xi - P X xi k Calculer k Représenter graphiquement la loi de X Calculer les probabilités suivantes P X P X ? P ? X ? P X P X P X Exercice On choisit deux boules au hasard dans une urne contenant boules blanches boules noires et boules oranges Supposons que l ? on reçoive euros pour chaque boule noire tirée et que l ? on perde euro pour chaque boule blanche tirée Désignons les gains nets par X Quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associées à ces valeurs Quelle est l ? espérance de X Exercice Une urne contient une boule qui porte le numéro deux qui portent le numéro et quatre qui portent le numéro On extrait simultanément deux boules dans cette urne Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui représente la somme des nombres obtenus Déterminer la fonction de répartition de X Calculer E X V X et ? X Exercice Soit X une v a qui suit la loi uniforme e g équiprobabilité de valeurs de X sur l ? ensemble X ?? ?? Donner la loi de X Calculer E X et V X On dé ?nit la variable aléatoire Y X C Donner Y et la loi de Y Calculer E Y de deux façons di ?érents Exercice Soit la fonction de répartition F de la variable aléatoire X dé ?nie par F F F F F F F x F F F F F F F F F F F F c Déterminer en justi ?ant la constante c Calculer P ? X Calculer P X P X Déteminer la loi de probabilité de X si x si ? x si ? x si x ? Exercice Soient X et Y des variables aléatoires discrètes dont la loi jointe est donnée par le tableau suivant X Y - Quelle est la loi marginale de X Quelle est la loi marginale de Y Calculer P Y ? X Calculer E X E Y etcov X Y Les variables X et Y sont elles indépendantes Exercice On a n bo? tes numérotées de à n La bo? te k contient k boules numérotées de à k On choisit au hasard une bo? te puis une boule dans la bo? te Soit X le numéro de la bo? te et Y le numéro de la boule Déterminer la loi du couple X Y Déterminer la loi de Y et son espérance Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes Calculer P X Y Exercice Soit un réel positif et p un réel élement de Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans N On suppose que leur loi conjointe est donnée par ?? i j ?? N